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Analyse de Hilbert 6

Nous prenons au lieu d’un segment une courbe C rectifiable sans points multiple du plan complexe et nous appellons s la longueur d’arc prise pour paramètre ; la fonction densité w à valeurs réelles et strictement positive sera une fonction de s.

Nous pouvons alors reprendre les notions précédentes et les appliquer à des polynômes orthogonaux dans , aussi nous reprenons la définition du p.s. hermitien donnée au début du chapitre.

Intéressons nous au cas où C est fermée et où w(s)=1 et reprenons le noyau hilbertien

.

Comme en 3-c : nous avons  et le polynôme  est tel que  et  où p(z) est n’importe quel polynôme de norme unité et de degré n.

Rappelons qu’il existe toujours au moins une transformation conforme  (ou une fonction analytique) de  qui transforme un domaine D inclus dans C (D simplement connexe ayant au moins deux points sur C) en le cercle unité, et ceci de manière univoque ; si en plus on impose  et  alors  est unique.

La démonstration de ce théorème de Riemann n’est pas constructive, mais l’utilisation de G_n va nous permettre d’approcher  de manière efficace.

Passons tout d’abord à la limite sur K_n(a, z) quand n tend vers l’infini : dans tout domaine intérieur à C, K_n est uniformément bornée ; montrons le en appliquant la formule intégrale de Cauchy :

où  est la distance de a à C. Si on appelle d la plus petite des distances de a à C et de z à C, nous avons grâce à Cauchy-Schwarz :

 .

La limite K de K_n existe donc et par là même la limite G de G_n :  et sa norme est également 1.

G est également solution du problème du maximum : soit  transformant l’intérieur de C en le cercle unité et g sa réciproque alors  où  est la longueur d’arc du cercle unité. En intégrant G on a alors avec  :

.

Posons , nous avons alors  grâce à l’intégrale précédente.

Pour rendre  maximum, il faut rendre  maximum au point , soit pour . Il nous faut donc  avec , soit

.

On cherche maintenant à voir le lien entre K_n et , aussi considérons la norme de leur différence, soit

.

Nous avons

 ;

la première intégrale vaut  ; pour la seconde la courbe C s’envoie sur le cercle unité et  d’où  et notre intégrale vaut .

Pour la dernière :

en utilisant la formule de la moyenne sur les fonctions harmoniques.

Finalement nous obtenons :

Comme , la limite de J_n est 0. On a donc  presque partout d’où

,

et comme  on a finalement :

.

Prenons par exemple la représentation conforme du cercle unité sur lui-même dont on sait qu’elle est donnée par

pour tout point a à l’intérieur du cercle unité ; on a bien  et

.

Nous allons retrouver ce résultat avec ce qui vient d’être fait.

Nous choisissons donc C le cercle unité et a un point à l’intérieur ; les polynômes orthogonaux e_n sont alors tels que

(puisque les polynômes e_n sont sur le cercle, ils s’écrivent sous la forme  ), comme on doit avoir  il nous faut

et par conséquent , soit  ; on normalise en divisant par  d’où la famille orthonormée

.

Cherchons le noyau hilbertien :

(somme d’une suite géométrique) et

On reconnaît bien évidemment dans ce cas les polynômes complexes servant à décomposer une fonction en série de Fourier, ceux-ci n’étant finalement qu’un cas particulier d’une situation beaucoup plus générale.

10-a :   Produit scalaire hermitien

Prenons l’exemple de la base orthonormée sur [0 ; 1] des fonctions  :

 vaut 1 si n = m et 0 sinon (symbole de Kronecker).

Posons k = n – m :

.

Ces fonctions sont linéairement indépendantes, chose que nous avons obtenue en étudiant les séries de Fourier. Faisons le produit scalaire d’une fonction f et  d’un élément de  :

soit le coefficient c_n de la série de Fourier de f qui correspond en fait à la projection orthogonale de f sur le vecteur de base .

Lemme de Lebesgue : un résultat important est le suivant :

 ;

intuitivement le fait de multiplier par  revient à envoyer f sur le cercle trigonométrique, aussi lorsque t tend vers l’infini, on fait une infinité de fois le tour du cercle et la somme de toutes les valeurs s’annule en moyenne.

10-b :  Inégalités de Heisenberg

La démonstration de ces inégalités que nous avons simplement approchées dans le chapitre 13 utilise la TF ainsi que quelques notions de probabilités. Considérons une fonction f telle que

,

donc telle que  soit une densité de probabilité ; la TF de f,  est également une distribution de probabilité : considérons deux variables aléatoires x et y de distributions respectives f et , de moyennes x_m et y_m, alors les variances respectives de x et y sont

 et  ;

posons  et , on a alors

 ;

posons   qui est également normalisée :

 et ,

soit . Calculons  la TF de f’  en faisant une intégration par parties :

 ;

le crochet est nul si f est bornée (ce qui est le cas ici) : la somme  est nulle car on fait une infinité de fois le tour du cercle de centre O et de rayon M.

Conséquence de ceci,  d’où :

.

La TF est une isométrie, soit . Grâce à l’inégalité de Schwarz nous pouvons écrire

(1)      

en utilisant les «vecteurs » Xg(X) et g’(X).

La fonction f initiale n’est pas forcément réelle, et même en Mécanique Quantique elle est souvent complexe, de même pour g ; or pour deux complexes a et b on a l’inégalité  qui donne appliquée à nos deux vecteurs :

.

Par ailleurs si on a la curiosité de dériver  :

d’où enfin :

.

On peut donc encore minorer dans (1) par

 ;

on a encore intégré par parties, le crochet est nul (g est bornée et sur  X vaut 0 en moyenne), quand à l’intégrale restante elle vaut 1.

Réécrivons donc (1) avec les variances :

 (inégalité de Heisenberg).

Il y aura égalité lorsque la TF de f est égale à f, c’est à dire lorsque la distribution de probabilité est une loi Normale !