L’axiomatisation et l’algébrisation de la mathématique qui, prétend-on, se poursuivent depuis déjà plus de 50 ans ont conduit à rendre illisibles un si grand nombre de textes mathématiques que la menace (qui a toujours pesé) de voir les mathématiques perdre contact avec la physique et les sciences naturelles est devenue réelle.
Vladimir Arnold, 1996
Analyse de Hilbert
1. Introduction et bibliographie 3-a : Relation de récurrence 3-b : Formule de Christoffel-Darboux 3-c : Noyau 5. Les zéros des polynômes orthogonaux (1) 6. Approximation 6-a : Théorème fondamental 6-b : Formule de quadrature de Gauss 6-c : Nombres de Christoffel 6-d : Evaluation de l’erreur 6-e : Formule d’interpolation d’Hermite 7. Les zéros des polynômes orthogonaux (2) |
10. Un exemple : le produit hermitien et les inégalités de Heisenberg 10-a : Produit scalaire hermitien 10-b : Inégalités de Heisenberg 11-a : Aperçu de la question 11-b : La méthode de Fredholm 12. Noyaux de Fourier 12-a : Transformée de Mellin 12-b : Exemples de noyaux de Fourier 12-c : Formules d’inversion non symétriques 13. Convolution |
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David Hilbert |
H. Schwartz |
Charles Hermite |
A. M. Legendre |
E. Christoffel |
Erik Ivar Fredholm |
De très nombreux résultats et méthodes ont vu le jour au fil des siècles dans les domaines de l’analyse numérique, de la résolution des équations différentielles, de l’approximation, etc. Quand on lit les divers ouvrages proposés dans la bibliographie, dont les dates de parution s’échelonnent sur à peine un siècle, on voit la diversité des approches et des motivations : untel sera plus intéressé par le côté purement mathématique, tel autre par la résolution d’équations aux dérivées partielles, tel autre par l’approximation, etc.
Arriver à se faire une idée un peu claire de la chose n’est pas très facile, et c’est ce que nous allons essayer de faire malgré tout. Dans un premier temps nous faisons quelques aperçus théoriques en évitant de développer trop le côté purement mathématique (le lecteur intéressé peut lire Schwartz par exemple), puis nous nous intéressserons au côté pratique de la chose avec divers types de polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre, Hermite), enfin nous terminerons par un bref aperçu sur la théorie de l’approximation avec les splines et les nurbs.
Comme pour la plupart des textes présents sur le site la plus grande place est faite aux applications, mais ce ne sera malheureusement pas le cas dans cette première partie.
Je ne résiste pas néanmoins à citer l’Universalis
« L'enseignement de ces questions en France est conçu selon un plan rigide : étude des modes de convergence dans un cadre abstrait, validation des opérations sur les séries et les intégrales, représentation des fonctions et, enfin, résolution de problèmes. Cette démarche est contraire à la pratique scientifique où l'approfondissement théorique des modes de représentation et d'approximation va de pair avec l'étude des problèmes visés.
Les méthodes de représentation et d'approximation jouent un rôle central dans l'analyse mathématique. Elles sont présentées de façon synthétique dans les cinq premiers chapitres, qui renvoient pour plus de détails sur chacune des méthodes décrites aux divers articles d'analyse de l'Encyclopédie. Dans les trois derniers chapitres, nous approfondissons les problèmes d'approximation en abordant notamment les questions de stabilité et de vitesse de convergence, spécialement utiles en analyse numérique. »
Jean-Louis Ovaert, Jean-Luc Verley
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Bibliographie
N. Boccara, Distributions, Ellipses, 1996
Un petit livre pas très épais mais très clair et facile à lire. Recommandé pour débuter.
A. Angot, Compléments de Mathématiques, Masson et Cie, 1970
Très clair et succinct, amplement suffisant jusqu’en Spé. On le trouve parfois d’occasion.Bien complet et des applications intéressantes à l’Electricité.
H. Hochstadt, Les fonctions de la physique mathématique, Masson et Cie, 1973
Epuisé, mais très intéressant ; les calculs sont parfois rudes mais méritent de s’y attarder.
W. Appel, Mathématiques pour la physique et les physiciens, H&K éd., 2002
Passe un peu vite sur pas mal de trucs, mais reste compréhensible.
G. Demengel, Transformations de Laplace, Ellipses, 2002
Malgré une présentation un peu fouillis on y trouve l’essentiel à connaître sur ce genre de questions.
E. T. Whittaker & G. N. Watson, A modern course of analysis, Cambridge University Press, 1927 (2003)
Bien que ce soit en anglais c’est assez facile à lire. La référence est une réimpression de la 4ème édition datée de 1927. Le livre par lui-même contient beaucoup de choses autres.
I. N. Sneddon, Fourier Transforms, Dover, New-York, 1951 (1995)
Beaucoup d’applications à des domaines variés. Explications assez claires même s’il faut un bon niveau parfois.
L. Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, Paris, 1979
Assez théorique, mais reste lisible avec un niveau Bac+3.
G. Valiron, Equations fonctionnelles, Masson et Cie, Paris, 1950 (rééd. J. Gabay, 1989)
Ca a pas mal vieilli, mais on trouve quand même l’essentiel sur la résolution des équations différentielles et les principales méthodes.
J. E. Rombaldi, Interpolation et Approximation, Vuibert, 2005
Bon petit ouvrage sur l’approximation et les noyaux.
G. Demengel & J.P. Pouget, Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS, Ellipses, 1998
Très utilisable et très concret.
M. Attéia & J. Gaches, Approximation hilbertienne, EDP sciences, 1999
La première partie sur les splines est illisible. La partie ondelettes est plus sympa.
B. Burke Hubbard, Ondes et ondelettes, Belin, 1995
Vulgarisation sur les ondelettes, mais touche à pas mal de choses. Intéressant et très lisible.
Encyclopédie Universalis, article Fonctions (représentation et approximation) et ceux associés, ed. électronique, 2005.
L’ensemble est assez bon. Peut servir de base.
Sur Internet, pas mal de choses…voir par exemple :
Quelques applications : http://www.unice.fr/DeptPhys/pilot/node1.html
A propos de la théorie de la chaleur :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/conducti/cddex.htm
Une autre page sur la Chaleur, mais en plus complet :
Pour une tripotée de formules et de liens on consultera évidemment :
http://mathworld.wolfram.com/HilbertBasis.html
ainsi que tous les liens du site.
Beaucoup de choses intéressantes sur http://www.sciences.ch/htmlfr/introduction.php, on profitera également des liens vers de nombreux textes disponibles en pdf.
Cours d’analyse numérique : http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-19/numeri.pdf
Equations aux dérivées partielles :
http://w3-phystheo.ups-tlse.fr/~robert/licadmin/ul1b/www/1er.03-04/ced2/ced2.html
Un peu de Maple : http://www.lptl.jussieu.fr/users/viot/td.html
