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Analyse de Hilbert 4

Nous avons vu dans le livre une approche du théorème à partir des pôlynômes de Bernstein sous une forme probabiliste. Améliorons ceci en faisant la démonstration…

Prenons donc lesdits polynômes

avec x dans [0, 1] (on peut toujours se ramener à l’intervalle [a, b] moyennant une transformation affine :  et réciproquement). Il nous faut donc montrer que ces polynômes convergent simplement vers la fonction f (continue), soit que pour tout , il existe N tel que pour tout n supérieur à N, .

Prenons tout d’abord f=1 :

(développement du binôme) et tout va bien. Un peu plus loin avec f(x)=x :

.

Plus complexe avec  :

, bof…

Dérivons  par rapport à x puis multiplions par x/n : on a

,

redérivons cette relation et remultiplions par x/n, on a alors :

.

Remplaçons y par 1 – x :  ; par conséquent

(la fonction x(1–x) est inférieure à 1/4 sur [0, 1]).

Passons au cas général : f est uniformément continue, donc bornée ; il existe donc M tel que , par conséquent  ; par ailleurs pour tout , il existe  tel que si  alors . Prenons un  ; pour notre polynôme B_n, il existe des points k/n pour lesquels les valeurs de B_n sont à une distance inférieure à  de f et d’autres pour lesquels cette distance est supérieure, nous pouvons donc écrire

La première somme se majore facilement par  ; pour la deuxième, nous avons

d’où en développant le terme carré :

.

En choisissant , on obtient . Cette démonstration est constructive puisqu’on sait à peu près quel polynôme de Bernstein on devra utiliser pour approcher f. Par contre, comme on le voit ci-dessous la vitesse de convergence est particulièrement lente.

fig. 1 : Approximation de cosx par les polynômes de Bernstein, n = 180

fig. 2 : écart entre cos x et B_n

 

Les polynômes  étant de degré n, ils ont n zéros complexes ou réels (aux ordres de multiplicité près), mais nous allons montrer que ces zéros sont tous réels, simples et dans [a, b] !

Supposons que nous ayons k < n zéros réels pour , alors le polynôme

sera tel que .

Le produit  ne contiendra que des termes au carré multipliés par une expression de signe constant ; supposons que ce produit est positif, nous aurons alors

 ;

il y a donc une contradiction qui ne peut être levée qu’en prenant k = n. Il y a donc n zéros simples dans [a, b].

Un autre résultat intéressant est que e_n et e_n+1 ne s’annulent pas simultanément et que les zéros de e_n+1 séparent ceux de e_n : reprenons la relation de récurrence du 3-a : soient x_m et x_m+1 deux zéros successifs de e_n, on a

donc

,

de même que

.

Comme on a deux zéros consécutifs,  et  sont de signes opposés ; il en est alors de même pour  et , donc  doit s’annuler au moins une fois entre les deux zéros.

De la même manière e_n doit s’annuler entre deux zéros de e_n+1.

Montrons que ces zéros ne sont pas identiques : si c’était le cas on aurait également  et ainsi de suite en descendant les valeurs de n ; mais comme e₀ > 0 c’est impossible.

Nous verrons d’autres propriétés de ces zéros ultérieurement.

6-a :  Théorème fondamental

Le théorème fondamental de l’approximation des fonctions est le suivant :

 

 

Cette approximation n’a de sens que pour la fonction poids w et sur l’intervalle [a, b].

Prenons q_n un polynôme quelconque et p_n celui du théorème ; nous avons  et nous posons  : pour ,

Par conséquent  ; de plus

et la plus petite valeur de cette norme est , minimum atteint lorsque  pour tout x. Comme g est orthogonal avec tous les e_j, on peut appliquer ce qu’on a dit sur les zéros en considérant g comme e_n, donc g s’annule n fois et change de signe n+1 fois (ou bien g est nul).

6-b :  Formule de quadrature de Gauss

Nous avons parlé brièvement dans le livre de la formule d’interpolation de Lagrange qui permet d’obtenir un polynôme passant exactement par n points donnés de f. Précisons ce point :

prenons la suite de points x_j, j=1...n, zéros du polynôme orthogonal e_n, d’images f(x_j) par f continue et considérons  : F est un polynôme de degré n–1 et en plus  ; si f est un polynôme de degré n–1, alors f = F.

Prenons f un polynôme de degré 2n–1, F(x) – f(x) est également de degré 2n–1 et s’annule pour les x_j, la fonction  est alors un polynôme de degré n–1 et nous pouvons écrire , soit

(1)   .

Intégrons cette relation, histoire de faire réapparaître nos p.s. :

,

posons  et remarquons que  (la remarque sur le degré de r sert ici) ; les nombres  sont appelés les nombres de Christoffel, sont indépendants de f et donnent la formule de quadrature de Gauss :

.

On pourrait se dire que sachant à priori calculer l’intégrale d’un polynôme sans trop de mal la formule précédente ne sert pas à grand chose, mais heureusement elle reste à peu près valable même si f n’est pas un polynôme.

Par exemple avec n = 2 et le poids w(x)=1 nous avons , d’où sur [–1 ; 1] les nombres de Christoffel  ; calculons par exemple

,

proche du ln2 obtenu par calcul direct.

6-c :  Nombres de Christoffel

On trouve d’autres définitions des nombres de Christoffel n’utilisant pas d’intégrale : reprenons le noyau hilbertien et appliquons le à un zéro de e_n :

(2)    

d’où

 

et en remplaçant dans la définition des nombres de Christoffel :

(la dernière intégrale vaut 1).

De même si on fait tendre x vers x_k dans (2) on a  d’où

.

Si nous appliquons la formule de quadrature de Gauss à la fonction  nous obtenons

(tous les termes dans le carré sont nuls).

6-d :  Evaluation de l’erreur

Dans tout ce qui précède nous n’avons utilisé que la continuité et la dérivée première des e_j, mais ces derniers sont davantage dérivables, aussi peut-on voir si on n’obtiendrait pas une évaluation de l’erreur commise (en remplaçant f par p_n) à l’aide des dérivées d’ordre supérieur, un peu à la manière de Taylor. Reprenons (1) et considérons

 ;

la fonction g a au moins les mêmes zéros que e_n et pour une valeur X fixée, nous pouvons trouver une constante K telle que  s’annule en X :  convient d’ailleurs très bien. Dérivons n fois cette relation : , mais comme  s’annule au moins n+1 fois, sa dérivée n-ième doit s’annuler au moins une fois, pour une valeur u par exemple :  ; on a donc  (la fonction  est un polynôme de degré n–1 et sa dérivée n-ième est nulle).

Finalement nous avons

,

soit la formule de Lagrange avec reste (le x de la formule correspond en fait au X précédent, ce qui donne la formule).

6-e :  Formule d’interpolation d’Hermite

Dans la formule précédente on obtient un polynôme qui suit les points de f, mais on ne s’est pas occupé de la forme du polynôme : il serait (très) intéressant d’obtenir en plus des tangentes identiques pour f et pour le polynôme… grosso-modo dans la formule de Lagrange on remplace la fonction f par des segments de droite puisqu’on utilise la dérivée première des e_n ; pour obtenir des courbes nous allons utiliser des arcs de parabole et donc utiliser les dérivées secondes.

Nous cherchons donc un polynôme de degré 2n–1 (on va réutiliser Gauss) tel que ses valeurs et celles de sa dérivée coïncident avec celles de f en x₁, x₂, …, x_n (le lecteur peut penser aux B-splines pour lesquelles on trace des arcs de courbe successifs avec une fonction de degré 3 = 2.2–1).

Il faut ici que nous arrivions à écrire f sous la forme

 ;

supposons que nous ayons trouvé nos fonctions  et , posons

,

on doit alors avoir  et  ainsi que  et  ; comme R_n est lié aux e_n, il faut faire intervenir le carré des e_n afin d’assurer la nullité, aussi écrivons  ; le même raisonnement que précédemment donne la valeur de K :  et  .

Pour les fonctions  et  nous devons avoir

et qu’ils s’annulent pour tous les autres zéros ; il faut également que ce soient des polynômes donc nous devons retrouver dans chacun le terme .

Posons , comme  nous devons avoir  ; dérivons :

d’où

 ;

calculons la dérivée de  :

qui ne s’annule évidemment pas en x_j, donc en multipliant par  nous obtenons

 .

Le même type de raisonnement permet d’obtenir  . Nous avons finalement obtenu la forme cherchée, nous calculons alors :

puisque le terme de gauche du p.s. est de degré n–1. De même nous obtenons

Finalement  nous récupérons la formule de Gauss avec un reste d’évaluation de l’erreur commise :

.

En reprenant la démonstration du § 5 avec n+m au lieu de n+1, on montre de la même manière que  s’annule au moins une fois entre deux zéros de e_n. Par contre on dispose de quelques résultats sur la distribution des zéros : considérons la fonction f définie par

Grâce au théorème de Weierstrass nous savons qu’il existe un polynôme p tel que

pour x dans ]a, b[ ; pour e suffisamment petit f est positive et  ainsi que  (alors que p est négatif par construction en dehors de [a, b]) ; prenons maintenant e_n avec n assez grand, tel que degré(p)  2n – 1 et que e_n ne s’annule pas dans [a, b].

La formule de quadrature de Gauss donne alors

qui est strictement positif, mais si tous les x_j sont en dehors de [a, b], les p(x_j) sont négatifs et comme les nombres de Christoffel sont positifs, la somme précédente doit être négative. On a donc une contradiction et e_n s’annule au moins une fois dans [a, b], ce que nous traduisons en disant que e_n s’annule au moins une fois dans tout intervalle inclus dans [a, b] pour n suffisamment grand.

Théorème de séparation : prenons maintenant la suite strictement croissante  avec u₀ = a et u_n= b telle que u_k soit l’unique valeur pour laquelle  ; alors les zéros de e_n s’insèrent exactement entre les termes de la suite :

a = u₀ < x₁ < u₁ < x₂ <… < u_n–1 < x_n < u_n = b.

Prenons un polynôme q(x) de degré 2n – 2 défini par les 2n – 1 conditions suivantes :

Comme il y a 2n–1 conditions, notre polynôme q est défini de manière unique et est de degré
2n–2, sa dérivée est de degré 2n–3 et s’annule pour tous les x_j sauf un donc n–1 fois ; de plus entre deux x_j avec j inférieur à k elle doit s’annuler au moins une fois (q passe de 1 à 1, q’ s’annule donc au moins k–1 fois), enfin quand q est nul sa dérivée est nulle (elle s’annule au moins n–k–1 fois) ; conclusion q’ s’annule au moins n–1+n–2 fois, soit 2n–3 fois.

Mais comme q’ est de degré 2n–3, elle s’annule exactement 2n–3 fois.

Supposons maintenant que  pour , comme , q est croissante donc .

Comme , pour qu’il n’y ait pas d’incohérence dans le comportement de q, q’ devrait s’annuler entre x_k et x_k+1 mais comme on a compté tous les zéros de q’ c’est impossible.

Conclusion, q(x)>1 pour .

On obtient donc que  et que

 ;

finalement

.

De la même manière en utilisant le polynôme  défini par

nous obtiendrons que .