Analyse de Hilbert 5
1. Introduction et bibliographie 3-a : Relation de récurrence 3-b : Formule de Christoffel-Darboux 3-c : Noyau 5. Les zéros des polynômes orthogonaux (1) 6. Approximation 6-a : Théorème fondamental 6-b : Formule de quadrature de Gauss 6-c : Nombres de Christoffel 6-d : Evaluation de l’erreur 6-e : Formule d’interpolation d’Hermite 7. Les zéros des polynômes orthogonaux (2) |
10. Un exemple : le produit hermitien et les inégalités de Heisenberg 10-a : Produit scalaire hermitien 10-b : Inégalités de Heisenberg 11-a : Aperçu de la question 11-b : La méthode de Fredholm 12. Noyaux de Fourier 12-a : Transformée de Mellin 12-b : Exemples de noyaux de Fourier 12-c : Formules d’inversion non symétriques 13. Convolution |
Si on considère l’ensemble des fonctions de carré sommable pour la densité w, noté , et constitué des fonctions f telles que nous obtenons un espace vectoriel pour les opérations habituelles ; en introduisant un p.s. comme , on définit la norme de f par
.
Si en plus cet espace est complet pour la norme considérée, on aura obtenu un espace de Hilbert.
Rappelons qu’un ensemble E muni d’une norme est complet si toute suite de Cauchy converge dans E au sens de la norme . Rappelons également qu’une suite (un) est de Cauchy lorsque pour tout il existe N tel que pour tout n, m >N on ait . Si est une suite convergente de fonctions de E, alors sa limite f est dans E.
L’intérêt ici est que est complet et est donc un espace de Hilbert (voir ci-dessous).
Reprenons nos polynômes orthogonaux, nous avons vu que le polynôme p pour lequel est minimale est donné par où ; comme les en sont orthonormés nous avons
.
Par conséquent pour tout n, c’est l’inégalité de Bessel. En faisant tendre n vers l’infini, la série de droite est bornée et converge ; si par bonheur on pouvait avoir l’égalité, la distance entre f et p pourrait être rendue aussi petite qu’on le souhaite (avec un choix judicieux de p). Le fait est que c’est effectivement possible et ceci grâce à la complétude de .
Démonstration de la complétude de
Quelques définitions pour commencer.
1. Une suite orthonormée sera dite complète dans si pour tout f de on a (égalité de Parseval);
2. Une famille de fonctions { } dans un espace de Hilbert sera fermée si lorsque pour toute fonction f telle que alors f=0 (ceci se comprend intuitivement : il n’y a pas d’autre fonction que la fonction nulle qui soit orthogonale aux ).
Premier théorème
Un ensemble orthonormé de fonctions dans est dénombrable.
Plaçons nous sur [0, 1] pour simplifier ; l’ensemble des nombres rationnels de [0, 1] est dénombrable (voir en Annexe), par conséquent nous pouvons définir une famille dénombrable de fonctions telles que ; soit g une fonction telle que
pour tout entier i, alors g est nulle presque partout : en effet la fonction est continue et s’annule pour les valeurs rationnelles de x, donc G est nulle et presque partout. Prenons un sous-ensemble dénombrable de de fonctions pour lesquelles ; si était constitué uniquement de tels sous-ensembles il serait dénombrable ; choisissons alors un sous-ensemble de non-dénombrable de fonctions possédant la propriété précédente et partitionnons l’ensemble des réels positifs par les intervalles semi-ouverts , k entier. Nous prenons maintenant dans les fonctions telles que le nombre soit dans Ak. Nous pouvons ainsi diviser en sous-ensembles dont au moins un n’est pas dénombrable, appelons le .
Ecrivons maintenant l’ingalité de Bessel pour : on a avec d’où ; la somme des ne peut donc converger, contredisant l’inégalité de Bessel.
Conclusion : chaque est fini, et est au plus dénombrable (il pourrait même être fini !).
Deuxième théorème
Dans un espace hilbertien une suite orthonormé { } est complète si, et seulement si, elle est fermée.
Supposons { } fermée et considérons une fonction f de L2 ainsi que ; la suite gn est de Cauchy puisque
et donc converge vers une fonction g.
On a alors pour k<n, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Mais la norme de droite tend vers 0 à l’infini et ; comme { } est fermée, g est nulle et donc { } est complète.
Dans l’autre sens maintenant… { } est complète et prenons f telle que alors donc f est nulle et { } est fermée.
Troisième (et dernier) théoréme
La suite des polynômes orthonormés { } est complète dans L2.
Premier point : soit f continue et telle que pour n entier positif ou nul ; nous écrivons f sous la forme f=p+r où p est un polynôme, alors
;
on a alors pour tout >0,
,
cette dernière intégrale peut être rendue aussi petite que l’on veut et on conclut que ; comme f est continue, f est nulle.
Posons maintenant , on a F(0)=F(1)=0 (remplacer n par 0…) et d’où ; intégrons par parties :
et F est nulle d’où ; comme w>0 presque partout, f est nulle presque partout ce qui démontre le théorème.
Nous nous sommes placés sur [0, 1] et rien ne nous empêche de passer sur [a, b] par une simple transformation, par contre le passage à des intervalles non bornés ne se fait pas aussi simplement. Pour certains polynômes (Laguerre, Hermite) correspondant à des densités différentes, il faudra redémontrer le caractère complet de L2.
Passons dans le domaine complexe…