Analyse de Hilbert 3
1. Introduction et bibliographie 3-a : Relation de récurrence 3-b : Formule de Christoffel-Darboux 3-c : Noyau 5. Les zéros des polynômes orthogonaux (1) 6. Approximation 6-a : Théorème fondamental 6-b : Formule de quadrature de Gauss 6-c : Nombres de Christoffel 6-d : Evaluation de l’erreur 6-e : Formule d’interpolation d’Hermite 7. Les zéros des polynômes orthogonaux (2) |
10. Un exemple : le produit hermitien et les inégalités de Heisenberg 10-a : Produit scalaire hermitien 10-b : Inégalités de Heisenberg 11-a : Aperçu de la question 11-b : La méthode de Fredholm 12. Noyaux de Fourier 12-a : Transformée de Mellin 12-b : Exemples de noyaux de Fourier 12-c : Formules d’inversion non symétriques 13. Convolution |
Ce que nous venons de faire ne fait pas intervenir le type des fonctions f, aussi intéressons nous à une famille de fonctions particulières : les polynômes réels ; nous les prenons définis sur un intervalle [a, b] à priori quelconque que nous allons munir d’un p.s. : choisissons un polynôme quelconque p(x) et une fonction poids w(x) pour laquelle l’intégrale existe. Pour la suite des événements il vaut mieux que w soit strictement positive et si nous parlons d’intégrale au sens de Lebesgue, presque partout strictement positive. Nous introduisons maintenant notre produit scalaire de la manière suivante :
pour des fonctions réelles.
Si les fonctions sont complexes il faut alors prendre le produit hermitien
.
Vérifions que nous avons bien un p.s. : du fait que nous prenons des polynômes sur nous avons immédiatement ; de même la condition de linéarité est vérifiée. Pour la 3ième condition qui est donc positif puisque w l’est ; de même comme l’intégrale ne peut être nulle que si est nulle ; la réciproque est immédiate.
Cherchons donc une famille de polynômes orthogonaux pour ce p.s. : nous prenons la famille linéairement indépendante que nous pouvons orthogonaliser avec la méthode de Gramm-Schmidt ; par exemple avec w(x) = 1 et [a, b] = [–1, 1] nous avons :
d’où et ;
d’où et ;
d’où et …
La méthode constructive précédente est malheureusement un peu lourde et difficile à mettre en œuvre dès que n devient grand, aussi allons nous chercher une formule de récurrence pour les polynômes dans le cas général.
Il est immédiat que les polynômes sont de degré n (à cause de ), aussi posons et calculons
(1) pour
puisque ej est au plus de degré n–1 ; calculons maintenant
(les sont les coordonnées du polynôme restant dans la base) ; posons et écrivons ; effectuons le p.s. sur cette égalité :
(2) pour .
Grâce à (1) nous avons alors pour et . Pouvons nous trouver une expression agréable de ? (2) donne également
Finalement nous pouvons écrire la relation de récurrence entre les polynômes orthogonaux :
avec et
Au même titre qu’en géométrie la distance liée au p.s. peut s’exprimer dans une base orthonormée par une expression de la forme on peut se demander ce que donnerait une expression de la forme , mais comme les ej sont des polynômes on peut généraliser à des expressions de la forme .
Nous avons pour l’instant et (revenir à la définition).
Utilisons la relation de récurrence sur les ej : où nous allons nous débarrasser des ; ; en réécrivant la même chose pour y et en soustrayant, nous tirons : , soit
avec d’où
.
Or nous sommes observateurs et nous remarquons que
;
en comparant avec la relation précédente, nous concluons immédiatement que
.
Vous pouvez vérifier que cette relation est valable pour n = 0, la récurrence est alors établie. Si nous faisons tendre y vers x, nous obtenons donc en faisant une légère manipulation :
,
soit
.
Fixons maintenant la valeur de y dans l’intervalle [a, b] et étudions le polynôme
.
* q est de degré n et s’écrit donc ;
* d’autre part nous souhaitons avoir un polynôme normé, soit donc ;
* par ailleurs nous pouvons considérer que q(y) est le p.s. de deux vecteurs de composantes et .
Utilisons la relation de Cauchy-Schwarz sur :
,
l’égalité ayant lieu lorsque les vecteurs sont linéairement indépendants, auquel cas est maximum.
Si nos deux vecteurs sont linéairement dépendants, il existe tel que pour tout k, d’où ; toujours pour avoir un polynôme normé nous écrivons : et finalement
.
Que peut-on dire de dans ce cas ?
Comme de toutes manières , c’est sa valeur maximale et les polynômes q(x) précédents sont ceux qui rendent maximal pour une valeur fixée de y.
Terminons ce paragraphe en remarquant que si p est un polynôme de degré inférieur ou égal à n, alors (les coordonnées de p sont obtenues en faisant le p.s. de p et de chaque ek puisque le p.s. consiste à projeter p sur chacun des ek) ; de plus
.
Le terme est appelé noyau régénérateur ou noyau hilbertien ; en particulier si p=1 (p(x)=p(y)=1), nous obtenons .