Analyse de Hilbert 2
1. Introduction et bibliographie 3-a : Relation de récurrence 3-b : Formule de Christoffel-Darboux 3-c : Noyau 5. Les zéros des polynômes orthogonaux (1) 6. Approximation 6-a : Théorème fondamental 6-b : Formule de quadrature de Gauss 6-c : Nombres de Christoffel 6-d : Evaluation de l’erreur 6-e : Formule d’interpolation d’Hermite 7. Les zéros des polynômes orthogonaux (2) |
10. Un exemple : le produit hermitien et les inégalités de Heisenberg 10-a : Produit scalaire hermitien 10-b : Inégalités de Heisenberg 11-a : Aperçu de la question 11-b : La méthode de Fredholm 12. Noyaux de Fourier 12-a : Transformée de Mellin 12-b : Exemples de noyaux de Fourier 12-c : Formules d’inversion non symétriques 13. Convolution |
On définit en général le produit scalaire (produit scalaire hermitien ou p.s. intérieur) dans les fonctions à valeurs dans par les propriétés suivantes :
1.
2.
3. ;
pour le p.s. ainsi défini on définit la norme de f par qui possède alors les propriétés suivantes :
1. ,
2.
3.
(inégalité triangulaire : l’égalité a lieu si et seulement si les vecteurs f et g sont indépendants).
Cette dernière inégalité résulte de la propriété suivante : ; posons et ; effectuons l’opération suivante :
qui est évidemment positif. L’inégalité précédente est une égalité si donc si f et g sont linéairement dépendants. La réciproque est immédiate avec les propriétés du p.s.
Deux fonctions f et g seront orthogonales si et seulement si leur p.s. est nul, de même une famille de fonctions sera orthogonale si toutes les fonctions fn sont orthogonales deux à deux. La famille sera othonormale si les normes de tous les vecteurs valent 1. L’ensemble des combinaisons linéaires de la famille constitue évidemment un espace vectoriel de dimension infinie (ou finie si le nombre de fonctions est fini…) dont les fn constituent une base.
Si nous prenons une fonction f quelconque la question qui se pose est alors de savoir si elle peut s’exprimer dans la base ; pour ce faire il faut déterminer les coordonnées de f dans la base, coordonnées obtenues en faisant le p.s. de f avec tous les vecteurs de la base : en effet supposons que f s’écrive alors . Si la base est orthonormé on récupère directement la coordonnée .
Si ce n’est pas le cas, ce n’est pas très grave car nous pouvons construire une base orthonormée équivalente à la base : considérons donc que nos vecteurs sont simplement linéairement indépendants et posons qui est évidemment normé ; prenons maintenant qui est normé et orthogonal à ; d’une manière générale si on prend on obtient une famille orthonormée de vecteurs (la démonstration est laissée aux bons soins du lecteur). C’est le procédé d’orthogonalisation de Gramm-Schmidt. Ce procédé de calcul est récurrent, mais on peut obtenir une expression directe des en considérant le déterminant
dont le p.s. avec chaque , j<k donne 0 et ; comme les lignes k et j sont identiques, on a .