accueil

Fichier Pdf

 

 Note pour la lecture : tous les liens ouvrent dans une nouvelle fenêtre.

Introduction

1. Le point de vue différentiel

1-a : Un fil

1-b : L’équation de Bessel

1-c : Fonction de Bessel de seconde espèce

1-d : Quelques résolutions d’équations différentielles

1-e : L’équation des ondes en coordonnées cylindriques

1-f : L’équation des ondes en coordonnées sphériques

1-g : Retour à l’équation du fil

2. Le point de vue complexe

2-a : Fonction génératrice

2-b : Représentation par une intégrale de Cauchy

2-c : Formule d’addition

2-d : Formules de récurrence

3. Comportement asymptotique

4. Zéros des fonctions de Bessel

4-a : Propriétés de base

4-b : Fonctions de Bessel comme produit infini

5. Transformée de Hankel

5-a : Un résultat remarquable

5-b : Intégrale de Sonine

5-c : Relations entre transformées de Hankel et de Fourier

6. Fonctions de Bessel et transformée de Laplace

6-a : Transformée de Laplace des fonctions de Bessel

6-b : Un résultat surprenant

6-c : Quelques résultats complémentaires

 

Le travail ici présenté n’a aucune prétention à l’exhaustivité même s’il couvre ce qu’il semble nécessaire de savoir jusqu’au niveau Maîtrise / Master aussi bien en Maths qu’en Physique.

Cette première partie est essentiellement théorique même si on commence avec un problème de physique classique. Une deuxième partie contiendra diverses applications à l’Optique, la Mécanique quantique, la Mécanique classique, l’Astronomie, l’Electricité, etc.

E. Hairer, G Wanner, L’analyse au fil de l’histoire, Springer, 2001

             Indispensable pour les idées de base.

N. Boccara, Fonctions analytiques, Ellipses, 1996

             Un petit livre pas très épais mais très clair et facile à lire. Recommandé pour débuter.

A. Angot, Compléments de Mathématiques, Masson et Cie, 1970

             Très clair et succinct, amplement suffisant jusqu’en Spé. On le trouve parfois d’occasion.Bien complet et des applications intéressantes à l’Electricité.

H. Hochstadt, Les fonctions de la physique mathématique, Masson et Cie, 1973

             Epuisé, mais très intéressant ; les calculs sont parfois rudes mais méritent de s’y attarder.Là aussi assez complet sur Bessel, applications à l’Optique.

W. Appel, Mathématiques pour la physique et les physiciens, H&K éd., 2002

             Passe un peu vite sur pas mal de trucs, mais reste compréhensible.

W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 1998

             Traitement moderne de l’analyse complexe, niveau bac+4. Commentaires historiques par Jean Dhombres.

S. D. Chatterji, Cours d’Analyse, vol II, Presses Polytechniques et Univ. romandes, 1997

             Une référence écrite dans un style très clair et accessible ; nombreuses notes historiques.

G. Demengel, Transformations de Laplace, Ellipses, 2002

             Malgré une présentation un peu fouillis on y trouve l’essentiel à connaître sur ce genre de questions. Liens intéressants entre fonctions de Bessel et Transformée de Laplace.

E. T. Whittaker & G. N. Watson, A modern course of analysis, Cambridge University Press, 1927 (2003)

             Bien que ce soit en anglais c’est assez facile à lire. La référence est une réimpression de la 4^ème édition datée de 1927. Le livre par lui-même contient beaucoup de choses autres.

G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, 1922 (1996)

             Mêmes remarques que précédemment : la référence sur beaucoup de sujets liés aux F. de Bessel et même si certaines questions sont dépassées est vraiment utile.

I. N. Sneddon, Fourier Transforms, Dover, New-York, 1951 (1995)

             Beaucoup d’applications à des domaines variés. Explications assez claires même s’il faut un bon niveau parfois.

 

Encyclopédie Universalis, article Fonctions de Bessel et ceux associés, ed. électronique, 2004.

 

Sur Internet, pas mal de choses…voir par exemple :

Quelques applications

http://www.unice.fr/DeptPhys/pilot/node1.html

A propos de la théorie de la chaleur

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/conducti/cddex.htm

Pour une tripotée de formules et de liens on consultera évidemment :

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html

ainsi que tous les liens du site.