4-a : Propriétés de base
Un certain nombre de théorèmes sur les solutions d’équations différentielles du deuxième ordre permettent de dire que les solutions de l’équation (1.d.3) ne peut avoir que des zéros simples (sauf pour z = 0, >1). Par ailleurs deux solutions linéairement indépendantes ne peuvent avoir de zéros communs et ces zéros sont entrelacés. Ceci dit on peut dire davantage de choses sur la question…
Tout d’abord ces zéros sont tous réels si est réel et ; en effet s’il existait un zéro (z0) qui soit imaginaire pur alors on aurait :
cette expression est une somme de termes tous positifs et ne s’annule donc pas.
Vérifions qu’aucun zéro n’est complexe ; supposons que z0 en soit un (zéro complexe) et reprenons la formule (2.d.2) où nous prenons et le conjugué de z0 :
.
Lorsque u est réel, l’est également donc si alors
Particulièrement on a , mais , c’est donc impossible.
Deuxième point : les zéros sont entrelacés comme on peut le voir sur la fig. 4 ; démontrons d’abord quelques petites formules :
(4.a.1) et .
La première s’obtient à partir de (2.d.1) : avec on a en multipliant par
;
dérivons :
;
on a également en intégrant :
En tout cas lorsqu’on se place entre deux zéros consécutifs de il y a au moins un zéro de puisque la dérivée s’annule au moins une fois.
Pour la deuxième c’est pareil en utilisant l’autre forme de (2.d.1) : ; on en déduit qu’entre deux zéros consécutifs de il y a au moins un zéro de ; enfin en admettant que tous les zéros sont simples (si alors ), il ne peut y avoir de zéro commun à et .
Par récurrence il est clair que tous les zéros de toutes les fonctions de Bessel sont entrelacés.
Le problème maintenant est d’obtenir des résultats un peu plus constructifs… Si on utilise Maple on a une fonction > BesselJZeros(n, k) qui donne la valeur du zéro numéro k pour . Il est d’ailleurs intéressant de regarder une représentation des ces zéros pour un certain nombre de valeurs de n (pas forcément entier).
fig. 1 : 50 premiers zéros des fonctions de Bessel (première espèce) et leurs différences,
On voit clairement que mis à part pour les premières valeurs la relation est quasi-linéaire.
Premier théorème valable pour toutes les solutions de (1.d.3) telles que soit réel et ; soient et deux zéros consécutifs d’une solution réelle de (1.d.3), alors
.
On voit sur la figure précédente que l’écart tend vers , ce qui se justifie fort bien à l’aide de cette inégalité dans la mesure où les tendent vers l’infini.
Posons , alors ; soit U une solution de ; comme est constant une solution de cette équation pour laquelle est par exemple de la forme avec ; avec on a ; on peut prendre A = 1, soit la solution . Appelons le zéro de U qui suit dans l’ordre croissant, on a alors . Si nous arrivons à montrer que nous aurons la partie droite de l’inégalité.
Supposons donc le contraire : et que (si c’était le contraire le raisonnement serait le même) : W est alors positive sur ; maintenant procédons comme au 2.d : on multiplie par U la 1ère équation, et par W la deuxième, , on soustrait :
et on intègre entre et :
.
Or on a pris donc le premier membre est positif ( si U > 0 entre et , et si U < 0, : faire un petit schéma…). Il est impossible d’avoir des signes différents, conclusion . La démarche est exatement la même pour la partie gauche de l’inégalité en prenant à la place de .
4-b : Fonctions de Bessel comme produit infini
Il est possible d’exprimer comme produit weierstrassien du fait des quelques propriétés vues précédemment. On se place néanmoins dans le cas où les zéros peuvent être complexes, soit lorsque est complexe. On note les zéros de partie réelle positive de rangés par partie réelle croissante (du « plus petit » au « plus grand »). Comme est paire, elle a également les zéros .
Prenons un large rectangle D dont les sommets sont aux points où le « plus grand » zéro est à droite et à gauche.
Considérons maintenant l’intégrale sur le rectangle où z est n’importe quel point intérieur au rectangle sauf les zéros et où n’est pas un entier négatif. Les seuls pôles à l’intérieur de D sont z, , …, ; le résidu au point z est , les résidus aux points , …, sont puisque lorsque d’après (2.d.2). On a donc
.
Si on prend le développement asymptotique de , on montre que est borné quelles que soient les dimensions de D, soit que l’intégrale de droite tend vers 0 lorsque A et B tendent vers l’infini. On a alors
.
Intégrons :
Par ailleurs on a
.
Pour trouver G(0) on part de et finalement
.