5. Transformation de Hankel
5-a : Un résultat remarquable
Au même titre que la transformée de Fourier, Hankel définit une transformée à base de fonctions de Bessel permettant l’inversion d’une fonction. Ceci n’a rien de bien étonnant étant donné le lien entre ces fonctions et les polynômes de Legendre, eux-mêmes possédant de bonnes propriétés d’orthogonalité.
On utilise comme principal outil la propriété (2.d.3) :
.
Posons : nous avons alors
;
regardons le comportement de quand z tend vers l’infini :
.
La dernière intégrale est réécrite avec (2.d.3) :
.
Or nous savons que lorsque u est très supérieur à 1, d’où lorsque z tend vers l’infini .
La première intégrale se décompose en deux blocs ( tend alors vers 0 lorsque u tend vers l’infini) :
,
ce qui donne
si est convergente.
Pour l’autre nous avons . On voit donc au final que . On obtient de même que sans difficuté ; il reste donc à regarder le comportement de et :
Supposons f bornée sur , nous allons montrer que
et que .
Comme f est bornée, il en est de même de sur , soit où g1 et g2 sont deux fonctions croissantes de y, positives et inférieures à un réel positif dépendant de . On remplace dans :
Réutilisons une nouvelle fois (2.d.3) dans le premier terme :
Mais nous savons que de sorte que lorsque z tend vers l’infini et vers 0,
et
.
On a finalement à la limite
.
Pour les deux autres intégrales, il faut donc montrer que leur contribution est nulle :
avec , soit ; or nous connaissons grâce à (4.a.2) la deuxième intégrale, de sorte qu’en remplaçant :
.
Or si on a pour toute valeur de z, l’expression précédente est donc de l’ordre de , soit et tend vers 0 lorsque tend vers 0.
Le raisonnement est exactement le même pour et nous obtenons donc
ce que nous écrirons plus rapidement par
.
Si nous écrivons
en remplaçant par f(y), nous obtenons (dans le cas d’une fonction continue en x)
qui est la formule d’inversion de la transformée de Hankel.
I. Mac Robert a obtenu en 1931 une démonstration n’utilisant que la théorie des fonctions analytiques que vous trouverez dans I. N. Sneddon, Fourier Transforms, p 51.
On peut néanmoins donner le principal résultat obtenu par ce biais :
Si la partie réelle de est supérieure à –1 et si on a avec alors
.
Ce résultat est un peu moins fort que le précédent car il faut que f soit holomorphe, mais présente un avantage autre : en fait on a , ce qui permet de calculer diverses intégrales peu engageantes. Le contour d’intégration est assez simple et est représenté ci-dessous.
5-b : Intégrale de Sonine
Comme exemple (important) d’utilisation nous considérons l’intégrale et prenons ; on choisit p = 0 et q = 1 d’où la fonction f considérée est
,
où nous avons remplacé par son développement en série.
Posons alors , nous tirons
(le lecteur fera avec joie les quelques calculs intermédiaires utilisant les propriétés de la fonction Gamma).
Il reste à utiliser le théorème : on a , soit
.
5-c : Relations entre transformées de Hankel et de Fourier
Considérons la Transformée de Fourier (TF) d’une fonction de deux variables :
et supposons que f ne dépende que de .
Passons alors en coordonnées polaires aussi bien dans le plan (x, y) que dans le plan (u, v) ; , et :
Comme apparaît dans la deuxième intégrale à la manière d’une phase, ce terme n’intervient pas et on obtient
;
la dernière intégrale nous est connue (voir (2.b.3)) d’où
,
soit la transformée de Hankel d’indice 0.
D’une manière plus générale la TF en dimension n d’une fonction s’écrit
où ;
si f ne dépend que de on peut montrer par récurrence que s’écrit :
,
et comme
,
on récupère .
Posons et , on a alors
et
grâce à la formule d’inversion de la transformée de Hankel.
Soit f une fonction, nous noterons sa transformée de Laplace (sous réserve de la convergence d’une telle intégrale, etc.).
6-a : Transformée de Laplace des fonctions de Bessel
Pour un tas de raisons qu’il serait trop long d’expliquer ici les fonctions de Bessel sont intimement liées aux fonctions hypergéométrqiues et prticulièrement à
Ces fonctions on la particularité de vérifier la relation
(6.a.1) .
Revenons à notre problème : nous cherchons ici à évaluer l’intégrale , ce qui nous donnera la transformée de Laplace de . Ecrivons sous forme de série :
et
or avec , on a
,
d’où
;
enfin en utilisant les propriétés de , on obtient
,
puis avec (6.a.1) :
.
Evidemment si on prend et on obtient
.
Une autre méthode donne des résultats plus facilement exploitables : nous partons de
,
et nous cherchons
(6.a.2)
où l’interversion des intégrales permet d’effectuer une partie du calcul. Posons maintenant , et ; quand t varie de à , z parcourt le cercle trigonométrique :
.
Le dénominateur s’annule pour les deux racines et dont seule la deuxième est à l’intérieur de C. z2 est un pôle de la fonction à intégrer et l’intégrale est le double du résidu de cette fonction relativement au pôle, soit :
.
Si on remplace t par it dans (6.a.2), on obtient la fonction de Bessel modifiée In, définie par et grâce à la propriété que l’image de Laplace de est , on obtient
.
En fait les fonctions Jn et In sont analytiques aussi bien par rapport à l’argument que par rapport à l’indice, aussi les résultats précédents s’appliquent à des indices non entiers.
6-b : Un résultat surprenant
Dans la mesure où un terme en apparaît dans la fonction génératrice des fonctions de Bessel on peut s’interroger sur ce que peut valoir . Le résultat que l’on obtient est le suivant :
(6.b.1) où .
Rappelons tout d’abord que pour alors
en faisant une succession d’IPP. Notez que lorsqu’on prend m non entier et même imaginaire avec partie réelle supérieure à −1, on a et son image reste .
On considère maintenant la fonction que l’on développe en série :
,
soit en prenant les images de Laplace de chaque terme :
.
Revenons à (6.b.1)
or .
6-c : Quelques résultats complémentaires
On donne ici une liste de fonctions (multipliées par ) faisant intervenir des fonctions de Bessel et leurs images de Laplace. On appelle fonction d’erreur la fonction .