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Fonctions d’une variable complexe
Il n’existe pas d’idée franchement mauvaise... Ce qui est
franchement mauvais, c’est de ne pas avoir d’idée du tout.
Georges Polyà
|
Augustin Louis
Cauchy
1789 - 1857
|
Karl Friedrich Gauss
1777 - 1855
|
Bernhard Riemann
1826 - 1866
|
Karl Weierstrass
1815 - 1897
|
|
Niels Hendrik Abel
1802 - 1829
|
Henri Poincaré
1854 - 1912
|
Jacques Hadamard
1865 - 1963
|
Hermann Weyl
1885 - 1955
|
Note de lecture : chaque chapitre s'ouvre dans une nouvelle
fenêtre.
1. Introduction et bibliographie
2. Fonctions
holomorphes
2-1 :
Rappels
2-2 : Fonctions
analytiques
2-3 :
Chemins
2-4 : Indice
d’un chemin
2-5 :
Formule de Cauchy
2-6 : Séries
de Laurent
2-7 :
Représentation par des intégrales
2-8 : Pôles
et fonctions méromorphes
2-9 :
Résidus
2-10 :
Calcul d’intégrales immondes
2-11 : Lemme
de Jordan
3.
Transformations conformes
3-1 : Une
fonction holomorphe est une application conforme
3-2 :
Quelques remarques
3-3 : La
fonction homographique
3-4 :
Transformations et géométrie de Poincaré
3-5 :
Transformations du cercle
3-6 :
Conclusion
4. Séries et
produits de fonctions
4-1 : Le
prolongement analytique (analytic continuation in english, Fortsetzung in
deutsch)
4-2 :
Principe du maximum
4-3 : Sinus
comme produit infini
4-4 :
Produits infinis
4-5 : Les
produits de Weierstrass
4-6 : Ordre
d’une fonction
La théorie des fonctions de la variable complexe a occupé de
nombreux mathématiciens pendant tout le 19ème siècle et une bonne
partie du 20ème. L’essentiel de la théorie sera développé par
Cauchy, Riemann, Weierstrass et finalisée en partie avec les travaux d’Henri
Poincaré sur les fonctions automorphes. Cette théorie est reliée en partie au
développement de la Physique et tout particulièrement à celui de l’électromagnétisme ;
les théories de la transformée de Fourier puis celle de Laplace-Carson ainsi
que la naissance du calcul symbolique d’Oliver Heaviside montreront bien la
puissance des outils considérés ; tout ceci aboutira à la généralisation la
plus forte avec la théorie des distributions de Laurent Schwarz en 1945. Par
ailleurs nombre de questions touchant aux mathématiques modernes se
développeront pendant tout le 19ème siècle et nous ne pouvons que
citer l’avant-propos de l’Abrégé d’histoire des mathématiques de Jean
Dieudonné :
Au 18ème siècle, c’est l’Analyse qui domine,
accumulant les succès spectaculaires dans ses applications à la Géométrie, à la
Mécanique, à l’Astronomie et au Calcul des Probabilités. A près une sorte de
pause de 1780 à 1810 environ, elle reprend dans tous les domaines sa marche
conquérante, avec le prodigieux développement de la théorie des fonctions
analytiques d’une variable complexe, et ce qui en est sans doute le plus
étonnant chapitre, la découverte et l’étude des fonctions elliptiques, des
fonctions abéliennes et des fonctions modulaires et automorphes, dont on peut
dire, sans exagération qu’il constitue vraiment le cœur des mathématiques du 19ème
siècle. Par ses ramifications variées, la théorie es fonctions elliptiques et des
fonctions modulaires est en effet en contact, aussi bien avec le renouveau de
l’Algèbre à cette époque […], qu’avec l’extraordianire floraison de la théorie
des nombres algébriques qui commence avec Gauss, dont elle ne saurait se
dissocier et à laquelle elle fournit ses thèmes les plus profonds ; tandis
que c’est des problèmes de la théorie des fonctions abéliennes que vont naître,
avec Riemann, la Géométrie algébrique et la Topologie modernes.
C’est au cours de ces développements que les
mathématiciens de cette période se voient amenés insensiblement, et non de
propos délibéré, à concevoir quantité d’ « êtres abstraits »
nouveaux : espaces de dimension arbitraire, structures algébriques et
topologiques variées, etc., qui n’ont plus que des liens ténus avec les notions
classiques de « nombre » et de « figure », mais sans
lesquels les résultats nouveaux ne peuvent acquérir toute leur portée. […]
Ainsi, à la fin du siècle, tous les thèmes des mathématiques actuelles ont été
dégagés.
Historiquement parlant citons H. Poincaré qui fait un résumé
rapide de la chose (L’œuvre mathématique de Weierstrass in Acta
mathematica - Suède, tome 22 - 1899) :
La théorie moderne des fonctions analytiques a eu quatre
fondateurs : Gauss, Cauchy, Riemann et Weierstrass. Gauss n’a rien publié
de son vivant ; il n’avait pour ainsi dire rien communiqué à personne et
ses manuscrits n’ont été retrouvés que longtemps après sa mort. Il n’a donc
exercé aucune influence [1].
[…]
Cauchy a précédé les deux autres et leur a montré le
chemin ; mais néanmoins les trois conceptions restent distinctes et cela
est fort heureux puisque nous avons ainsi trois instruments entre lesquels nous
pouvons choisir et dont nous pouvons souvent combiner l’action.
Pour Cauchy la définition de la fonction conserve encore
un peu de l’indécision qu’elle avait chez ses devanciers. […] Une fonction
quelconque peut être représentée par une intégrale définie et devient aussi
maniable pour l’analyste, quelque vaguement définie qu’elle ait été au début.
[…]
Pour Riemann, l’image géométrique joue le rôle
dominant ; une fonction n’est qu’une des lois d’après lesquelles les
surfaces peuvent se transformer ; on cherche à se représenter ces
transformations et non à les analyser ; leur possibilité même n’est établie
que par un raisonnement sommaire auquel on n’a pu, beaucoup plus tard, donner
la rigueur qu’aux prix de modifications profondes et de détours
compliqués [2].
Weierstrass se place à l’extrême opposé : le point
de départ est la série de puissances, l’élément de la fonction qui est confiné
dans un cercle de convergence ; pour poursuivre la fonction en dehors de
ce cercle, nous avons le procédé de la continuation anlytique ; tout
devient ainsi une conséquence de la théorie des séries et cette théorie est
elle-même établie sur des bases atithmétiques et solides.
Grosso-modo et pour simplifier, les distributions sont un
aboutissement de la théorie linéaire des fonctions, quoique la découverte des
ondelettes il y a une vingtaine d’années laisse supposer que de nombreux terrains
de chasse restent ouverts… Mais un autre aspect non négligeable est la question
de la non-linéarité, et là-encore de multiples champs d’investigation restent à
explorer : l’exemple des fonctions modulaires, des splines, des solutions
d’EDP en hydrodynamique, etc. sont là pour nous rappeler que l’exploration du
domaine complexe est loin d’être finie et ceci sans parler des espaces et particulièrement des quaternions et des
octonions.
L’unification des différents chapitres de la Physique
moderne sous la bannière des champs a montré la profonde unité des principaux
concepts ; il reste encore un lourd travail à effectuer : tout
réécrire en utilisant les algèbres de nombres comme les quaternions ou les
hypernombres comme ceux de C.
Davenport. Cette simplification fondamentale permettra alors forcément de
nouvelles avancées.
Nous ne pouvons que conseiller à tout étudiant en Sciences
« dures », Mathématiques et/ou Physique, de lire et approfondir les
notions ici présentées. La bibliographie fournit un éventail relativement large
d’ouvrages, certains très accessibles, d’autres moins, mais tous présentent un
intérêt certain et différent.
Le texte suit en partie le plan du livre de Henri Cartan,
lequel développe la théorie de Cauchy améliorée par E. Artin, mais en dévie sur
certains plans comme la conformité et le prolongement analytique. Pour ce qui
est de la théorie de Riemann, trop longue à traiter ici, le lecteur pourra consulter
[App], [Val] et [Cha]. Par ailleurs une partie des utilisations de la théorie
est développée dans d’autres parties disponibles sur le site pour
certaines :
La fonction
Gamma,
Les fonctions de
Bessel,
Applications
des fonctions de Bessel,
Fourier (en
préparation),
Les polynômes
orthogonaux (en préparation),
Les fonctions
elliptiques (en préparation).
[Ang] A. Angot, Compléments de
Mathématiques, Masson et Cie, 1970
Très
clair et succinct, amplement suffisant jusqu’en Spé. On le trouve parfois
d’occasion.
[App] W. Appel, Mathématiques
pour la physique et les physiciens, H&K éd., 2002
Passe
un peu vite sur pas mal de trucs, mais reste compréhensible.
[Die] J. Dieudonné et al., Abrégé
d’histoire des Mathématiques, ch. 4 (J. L. Verley)
Il
est recommandé de lire ce chapitre avant et après avoir lu le texte qui suit…
[Edw] H. M. Edwards, Riemann’s
Zeta Function, Dover Pub., 1974 (2001)
Si
vous le trouvez ouvrez votre portefeuille, c’est la référence.
[God] R. Godement, Analyse
Mathématique, vol 1 à 4, Springer, 2000-2004
Si
vous allez au-delà de bac + 2 indispensable.
Indispensable
pour les idées de base.
[Hoc] H. Hochstadt, Les fonctions
de la physique mathématique, Masson et Cie, 1973
Epuisé,
mais très intéressant ; les calculs sont parfois rudes mais méritent de
s’y attarder.
[Rud] W. Rudin, Analyse réelle et
complexe, Dunod, 1998
Traitement
moderne de l’analyse complexe, niveau bac+4. Commentaires historiques par Jean
Dhombres.
Assez
cher (à faire acheter par votre bibliothèque préférée…), mais fournit un bon
catalogue des propriétés fondamentales des principales fonctions utiles.
[Zis] M. Zissman, Mathématiques
pour l’agrégation, Dunod, 1996
Beaucoup
de choses qui partent dans beaucoup de directions.
[Uni] Encyclopédie Universalis, ed. électronique, 2004,
article Fonctions analytiques et sq.
Sur internet :
http://www.meca.unicaen.fr/Enseignement/Licence/Math/cours/cours.html
http://yttriumath.free.fr/math/licence/sommaire.htm
http://www.cpge-cpa.ac.ma/cpa/maths/dudeComplexe.pdf
http://www.dptmaths.ens-cachan.fr/IMG/pdf/cours_ana_compl_desvillettes.pdf
Sur Gallica : http://gallica.bnf.fr/
on trouve pas mal de choses, voir particulièrement :
P. Appell, Principes de la théorie des fonctions
elliptiques et applications
Briot et Bouquet, Etude des fonctions d’une variable imaginaire
B. Riemann, Œuvres complètes (avec
particulièrement la « dissertation inaugurale », n°173)
N. H. Abel, Œuvres complètes
A. Cauchy, Œuvres complètes
J. Liouville, Journal
de Mathématiques pures et appliquées (tous les volumes…)
)
)