accueil

plan

introduction

table matières

bibliographie / liens

télécharger

errata

introduction

table matières

bibliographie / liens

télécharger

errata

1. Brève histoire des débuts de l’Arithmétique
2. Bachet et Fermat
3. Encore Fermat, Euler, Legendre, Gauss
4. Dirichlet et les fonctions arithmétiques
5. La loi de réciprocité quadratique
6. Le théorème de Wilson et ses conséquences
7. Fractions continues
8. Les suites de Farey
9. Fonctions d’une variable complexe

10. La fonction Gamma
11. La fonction Zêta
12. Le Théorème des Nombres Premiers
13. Fonctions elliptiques
14. Les fonctions thêta de Jacobi
15. Formes modulaires
16. Partitio numerorum
17. Formes quadratiques
Annexes

Chapitres

Table

Présentation et liens internes au chapitre, bibliographie de base

p 22/24 : http://pagesperso-orange.fr/jean-paul.davalan/arit/egy/index.html
p 31 http://gperilhous.free.fr/MGenealogie/Cours/Annexes/Prix.html

2.1. Quelques bases
          2.1.1. L’algorithme d’Euclide
          2.1.2. Congruences
          2.1.3. Théorèmes
2.2. Le Théorème de Bachet-Bézout
          2.2.1. Calculs
          2.2.2. Preuve
          2.2.3. Combien d’étapes dans l’algorithme d'Euclide ?
          2.2.4. Coût d’une factorisation
          2.2.5. Coût de calcul du PGCD
          2.2.6. L’algorithme de Pollard
2.3. Somme des diviseurs
2.4. Les nombres parfaits
2.5. Les nombres de Mersenne
          2.5.1. Définition et théorèmes
          2.5.2. Test de Lucas-Lehmer
2.6. Codage affine

p 53 : http://www.mersenne.org/french_prime.htm
p 53 : http://algo.inria.fr/banderier/Recipro/node1.html
p 53 : http://www.fatrazie.com/nb_premiers.htm

3.1. Problèmes de divisibilité
          3.1.1. Le « petit » Théorème de Fermat
          3.1.2. Le Lemme de Hensel
          3.1.3. Théorème des restes chinois
          3.1.4. Nombres pseudo-premiers
3.2. L’indicatrice d’Euler
          3.2.1. Définition
          3.2.2. Sommes
          3.2.3. Une autre écriture de
          3.2.4. Deux conjectures
3.3. Corps quadratiques
          3.3.1. Corps de nombres algébriques
          3.3.2. Entiers algébriques
          3.3.3. Unités
          3.3.4. Les unités de
          3.3.5. Nombres premiers
          3.3.6. L’algorithme d’Euclide
3.4. L’hypothèse H
          3.4.1. Les polynômes d’Euler
          3.4.2. L’hypothèse H de Arthur Schinzel
          3.4.3. La conjecture de Bateman-Horn

p 62 : http://kobep525.rsjp.net/~math/notes/note02.html
p 68 : http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183420617

4.1. Dirichlet
4.2. Fonctions arithmétiques
          4.2.1. Une fonction vraiment très simple…
          4.2.2. Phi et mu sont dans un bateau
          4.2.3. Définitions
          4.2.4. Quelques propriétés
          4.2.5. Convolution
          4.2.6. Convolution des fonctions arithmétiques
          4.2.7. Opérateurs, sommes et composition
          4.2.8. Fonction génératrice
4.3. Quelques estimations
          4.3.1. Identité d’Abel et formule sommatoire d’Euler
          4.3.2. Des exemples
          4.3.3. La valeur moyenne de
          4.3.4. La valeur moyenne de
          4.3.5. La valeur moyenne de
          4.3.6. Sommes partielles du produit de convolution
          4.4. Produits euleriens
          4.4.1. Convergences
          4.4.2. Quelques exemples

p 97 : http://promenadesmaths.free.fr/Fibonacci.htm

5.1. Les corps Fp
5.2. Les résidus quadratiques
          5.2.1. Définition et critère d’Euler
          5.2.2. Le symbole de Legendre
          5.2.3. Lemme de Gauss
5.3. La loi de réciprocité quadratique
          5.3.1. Théorème
          5.3.2. Quelques exemples
          5.3.3. Les symboles de Jacobi et Kronecker
5.4. Les sommes de Gauss
          5.4.1. Caractère et conducteur
          5.4.2. Réciprocité quadratique : 2e démonstration.

6.1. L’épuisette et les poissons
6.2. Démonstrations
          6.2.1. Étape 1 : Si (p −1)!+1 ≡ 0[ p ]
                              alors p premier
          6.2.2. Étape 2 : Si p est premier
                              alors (p −1)!+1 ≡ 0[ p ].
          6.2.3. Généralisation de Gauss
6.3. Racines primitives modulo p
          6.3.1. Vraiment primitives
                    ces racines…
          6.3.2. Exposants
          6.3.3. Combien de racines primitives ?
          6.3.4. Une mise à l’index
          6.3.5. Quelques propriétés des indices
6.4. Des codes basés sur le logarithme discret ou la factorisation
          6.4.1. Le codage Diffie-Hellman
          6.4.2. Le codage El Gamal
          6.4.3. Le codage RSA
6.5. Divisions
          6.5.1. Représentation décimale d’un nombre
          6.5.2. Calcul de périodes
          6.5.3. Permutations et sommes

7.1. Théorème de Liouville
          7.1.1. Définition et théorème
          7.1.2. Preuve
          7.1.3. Mesure de rationnalité
7.2. Définitions et propriétés
          7.2.1. Développement d’un nombre
          7.2.2. A quoi ça sert ?
          7.2.3. Définition par récurrence
          7.2.4. Fractions continues régulières
7.3. Théorèmes sur l’approximation
          7.3.1. Approcher un nombre
          7.3.2. Convergence et divergence
          7.3.3. Meilleures approximations
          7.3.4. Fractions intermédiaires
          7.3.5. Autres théorèmes sur
                    l’approximation
          7.3.6. Les théorèmes de Thue et Roth
          7.3.7. Quelques exemples de
                    fractions continues
7.4. Étude de certaines fractions
          7.4.1. Convergence
          7.4.2. Quelques exemples simples
          7.4.3. Une relation importante
7.5. Racines carrées
          7.5.1. Fractions continues périodiques
          7.5.2. Exemples et propriétés
          7.5.3. Longueur de période
          7.5.4. Un développement indien
          7.5.5. Passage aux matrices

7.6. Mesure et probabilités
          7.6.1. Où sont les coefficients ?
          7.6.2. Une interprétation probabiliste
          7.6.3. Accroissement des dénominateurs des réduites
7.7. Le problème de Gauss et le théorème de Kuz’min
          7.7.1. Le théorème de Kuz’min
          7.7.2. La constante de Khinchin
7.8. L’équation de Pell-Fermat
          7.8.1. Résolution par les fractions continues
          7.8.2. Solutions modulo un nombre premier
7.9. Les fonctions L de Dirichlet
7.10. Fractions continues générales
          7.10.1. Séries
          7.10.2. Quelques exemples
          7.10.3. Avec des séries entières
          7.10.4. Conclusion

8.1. Fractions consécutives
8.2. Propriétés basiques
8.3. Cercles de Ford
8.4. Arbre de Stern-Brocot et approximations
8.5. Suites de Farey et Hypothèse de Riemann
8.6. Minkowski et la géométrie des nombres
         8.6.1. Réseau
         8.6.2. Le théorème de Minkowski
         8.6.3. Distribution des points visibles depuis l’origine
         8.6.4. Application à l’approximation d’un réel
         8.6.5. Somme de deux et quatre carrés
         8.6.6. Théorème de Pick

9.1. Introduction
9.2. Fonctions holomorphes
         9.2.1. Rappels
         9.2.2. Fonctions analytiques
         9.2.3. Chemins
         9.2.4. Indice d’un chemin
         9.2.5. Formule de Cauchy
         9.2.6. Séries de Laurent
         9.2.7. Représentation par des intégrales
         9.2.8. Pôles et fonctions méromorphes
         9.2.9. Résidus
9.3. Calcul d’intégrales immondes
         9.3.1. Trois exemples
         9.3.2. Le lemme de Jordan
9.4. Transformations conformes
         9.4.1. Une fonction holomorphe est une application conforme
         9.4.2. L’inverse local
         9.4.3. La fonction homographique ou fonction de Möbius
         9.4.4. Transformations et géométrie de Poincaré
         9.4.5. Géométrie de Poincaré
         9.4.6. Transformations du cercle
         9.4.7. Conclusion
9.5. Séries et produits de fonctions
         9.5.1. Le prolongement analytique
         9.5.2. Principe du maximum
9.6. Sinus comme produit infini
         9.6.1. Le problème de Bâle
         9.6.2. Convergence et résultats
         9.6.3. Produits infinis
         9.6.4. Les produits de Weierstrass
         9.6.5. Ordre d’une fonction

p 228 : http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/complex/node18.html

10.1. Les débuts d’une star
10.2. Le point de vue réel
         10.2.1. Définitions
         10.2.2. Propriétés de base
         10.2.3. Réduction des fonctions Bêta aux fonctions Gamma
         10.2.4. Intégrale de Gauss
         10.2.5. Intégrales de Fresnel
10.3. Le point de vue complexe
         10.3.1. Fonctions Gamma et Bêta dans le demi-plan Re(z)>0
         10.3.2. Prolongement analytique
         10.3.3. Le produit infini de Gamma
         10.3.4. La fonction Digamma : dérivée logarithmique de Gamma
10.4. La formule de Stirling
         10.4.1. Le lemme de Watson
         10.4.2. Représentation asymptotique de Gamma

11.1. Nicole Oresme
11.2. Des séries extraites de la série harmonique
11.3. Leonhard Euler et la fonction Zêta
         11.3.1. Retour vers le sinus
         11.3.2. The Golden Key
11.4. Premières approches
         11.4.1. Les nombres de Bernoulli
         11.4.2. La relation d’Euler
11.5. Définir Zêta partout (ou presque)
         11.5.1. Trouver une formule pour Zêta « valide pour tout s »
         11.5.2. L’équation fonctionnelle
         11.5.3. L’équation fonctionnelle, version 2
11.6. Pourquoi tant de zéros ?
         11.6.2. Une estimation extraordinaire
         11.6.3. Le produit infini
         11.6.4. La formule de Riemann –von Mangoldt
         11.6.5. La fonction de Riemann -Siegel
11.7. Et si c’était vrai ?

12.1. Le dix-neuvième siècle
         12.1.1. Le crible d’Erathostène et Legendre
         12.1.2. Leonhard Euler et les nombres premiers
         12.1.3. Carl-Friedrich Gauss
         12.1.4. Un travail important de Tchebychev
         12.1.5. Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin
12.2. Les théorèmes de Franz Mertens
         12.2.1. Un premier théorème
         12.2.2. Un deuxième théorème
         12.2.3. Jamais deux sans trois
12.3. Une démonstration du TNP
         12.3.1. Une écriture équivalente du TNP
         12.3.2. Zêta ne s’annule pas sur Re(s)=1, ni même dans ses environs
         12.3.3. Démonstration du théorème d’Hadamard par la méthode de Landau
12.4. Une approche « élémentaire » du TNP
         12.4.1. Une deuxième écriture équivalente du TNP
         12.4.2. Preuve : étape 1
         12.4.3. Preuve : étape 2
         12.4.4. Une dernière équivalence du TNP
         12.4.5. Un exemple d’utilisation

13.1. Quelques personnages…
13.2. Sinus et cotangente
13.3. Des développements plus « complexes »
         13.3.1. La fonction sigma
         13.3.2. La fonction zêta
         13.3.3. La fonction ℘
13.4. Des questions historiques
13.5. Un premier point de vue : Giulio Fagnano
         13.5.1. La lemniscate de Bernoulli
         13.5.2. Division en deux arcs égaux
         13.5.3. Division en trois arcs égaux
         13.5.4. Une intervention d’Euler
13.6. Longueurs
         13.6.1. Les vraies périodes du pendule
         13.6.2. Première définition des fonctions elliptiques
         13.6.3. Une représentation géométrique
         13.6.4. Les calculs
         13.6.5. La moyenne arithmético - géométrique
         13.6.6. La moyenne arithmético - géométrique : application à la Lemniscate
         13.6.7. Une application étonnante : promenade aléatoire sur un réseau
13.7. Quelques propriétés générales
         13.7.1. Géométrie d’une intégrale
         13.7.2. Pôles et zéros d’une fonction elliptique
13.8. Retour à la fonction de Weierstrass
         13.8.1. Paramétrisation d’une cubique
         13.8.2. Séries d’Eisenstein
13.9. Trois vieilles histoires
         13.9.1. Un problème de Diophante sur les équations de degré 2
         13.9.2. Les nombres congruents
         13.9.3. Un problème presque résolu par É. Lucas
         13.9.4. L’équation de Bachet-Mordell
13.10. L’addition sur une cubique
         13.10.1. Loi de groupe
         13.10.2. Cryptographie avec une courbe elliptique
         13.10.3. Factorisation par l’algorithme de Lenstra
         13.10.4. Aperçu de quelques développements

14.1. Prolégomènes
         14.1.1. Définitions
         14.1.2. Relations
         14.1.3. Les zéros des fonctions θ
4.2. Relations algébriques 370
         14.2.1. Quelques relations entre les carrés des fonctions θ
         14.2.2. Formules d’addition
         14.2.3. Produits infinis
14.3. Dérivées
         14.3.1. Équation de la chaleur
         14.3.2. Produits infinis, 2e époque
14.4. Fonctions thêta et fonctions elliptiques
         14.4.1. Connexion avec les fonctions de Jacobi
         14.4.2. Connexion avec les fonctions σ de Weierstrass
         14.4.3. Connexions avec la fonction ℘ de Weierstrass
         14.4.4. Valeurs des fonctions θ
pour z = 1 / 2
14.5. Transformations
         14.5.1. Transformation de Jacobi algébrique
         14.5.2. Transformation de Jacobi par Poisson et Fourier
         14.5.3. L’identité de Landsberg & Schaar

15.1. L’équation modulaire
15.2. Idées algébriques et bases
         15.2.1. Le groupe modulaire
         15.2.2. Fonctions modulaires
         15.2.3. Fonctions de réseau
15.3. Quelques formes modulaires 396
         15.3.1. Avec les fonctions thêta
         15.3.2. Le discriminant de ℘ et l’invariant modulaire
         15.3.3. Solution de l’équation modulaire
         15.3.4. Les séries d’Eisenstein
         15.3.5. Développement de l’invariant modulaire j
15.4. L’espace des formes modulaires
         15.4.1. Dimensions
         15.4.2. La fonction êta de Dedekind
         15.4.3. La fonction tau de Ramanujan

16.1. Quelques anciennes idées
16.2. Partitions d’un entier
         16.2.1. Fonctions génératrices
         16.2.2. Euler et les nombres pentagonaux
16.3. La formule du triple produit de Jacobi
16.4. Les relations de Rogers & Ramanujan
         16.4.1. Des formules d’Euler
         16.4.2. Naissance d’un génie
16.5. La fraction continue de Ramanujan
16.6. La méthode du cercle
16.7. Preuves et conjectures
         16.7.1. Le problème de Waring
         16.7.2. L’exposant k = 1
         16.7.3. Somme de deux carrés
16.8. La conjecture de Goldbach
         16.8.2. Mise en route
         16.8.3. Valeur moyenne de
         16.8.4. Grandes valeurs de
         16.8.5. Grands et petits arcs
         16.8.6. Série singulière
         16.8.7. Arcs mineurs

p 430 : http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASNSP_1992_4_19_1_113_0

17.1. Équivalences
         17.1.1. Formes quadratiques binaires
         17.1.2. Formes quadratiques positives
         17.1.3. Le nombre de classes est fini
         17.1.4. Un algorithme de calcul
         17.1.5. Minimum des formes
         17.1.6. Formes réduites
         17.1.7. Représentations des entiers
         17.1.8. Nombre de représentations des entiers
17.2. Formule analytique du nombre de classes
         17.2.1. Caractères
         17.2.2. Encore une équation fonctionnelle
         17.2.3. Cent et quelques années plus tard…

Abréviations et Symboles
Bibliographie
Index