Fibonacci et ses lapins… |
Pour charger les fichiers correspondants
|
1.
Convergence 2.
Expression des quotients |
Léonardo Fibonacci, un des premiers mathématiciens italiens à utiliser les chiffres arabes, définit ce que l’on appelle maintenant la suite de Fibonacci de la manière suivante : Il acquiert un couple de jeunes lapins qui commencent à se
reproduire au bout du deuxième mois ; ils donnent naissance à un couple de
lapins qui ne pourront se reproduire qu’au bout de deux mois, et ainsi de
suite, chaque couple donnant naissance à un nouveau couple tous les mois,
lesquels commencent à se reproduire au bout de deux mois. On obtient ainsi la
suite récurrente
il y a une infinité de suites possibles suivant les valeurs initiales, ici on prend donc
|
|
Les premiers nombres de la suite sont alors 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34… On voit assez facilement que la différence de deux termes ne
donne rien de particulier : 0, 1, 2, 3, 5, 8… si ce n’est les termes de la
suite (vous pouvez esssayer en changeant les premiers termes de la suite, par
exemple comme E. Lucas en prenant 1 et 3). Ci-dessous la représentation en
binaire (lorsqu’il y a 1 on met un point noir, lorsqu’il y a 0 on laisse en
blanc) des 255 premiers nombres de Fibonacci et des 255 premiers nombres de
Lucas que nous appelerons |
|
Curieusement certains motifs apparaissent… (pas trouvé d’explication convaincante). Essayons donc d’étudier cette suite en s’intéressant au quotient de deux nombres consécutifs (on reprend une partie du livre mais en traitant le problème de manière différente) : |
|
Visiblement les termes de la suite suivent une progression exponentielle et les termes convergent.
|
|
Fig. 4 : Suite de Fibonacci (3)
|
Interprétons le graphique : Deux possibilités se présentent : travailler sur les sous-suites d’ordre pair et impair, ce qui amènera à considérer (croissante majorée donc convergente) et (décroissante minorée donc convergente également), les deux suites convergeant vers le point fixe (à montrer également). Dans tous les cas les points fixes sont les solutions de
On a bien sûr reconnu le nombre d’or dans Notez également que (qui est donc du même type que f mais croissante). La deuxième possibilité est de travailler directement sur
Il est immédiat que qui est le coefficient réducteur que nous utiliserons. On majore tous les termes les uns derrière les autres :
comme la suite géométrique tend vers 0 et En fait quand on calcule les termes de
|
Une autre approche consiste à calculer précisément les
termes de la suite
si cette suite a deux points fixes
est géométrique ;
on en déduit donc une expression de Appliquons à
La suite est géométrique de raison
d’où
On en déduit donc
|
Cette relation va nous donner les valeurs des nombres de Fibonacci : puisque on a immédiatement
relation de récurrence entre les
Finalement nous avons :
On vérifie quand même : par ex.
Vous pouvez remarquer que lorsqu’on développe
les termes en puisqu’il y a une différence de numérotation. Pour les
|
Aussi bien pour les
(en fait c’est le premier entier juste inférieur à ces nombres) . Peut on trouver une autre expression de ces nombres ? Développons avec le binôme de Newton les termes de
soit en regroupant :
D’un autre côté utilisons les propriétés de
On a donc évidemment d’où (avec n impair)
On en déduit facilement la formule pour n pair. Vous pouvez voir une tripotée de formules toutes plus belles les unes que les autres sur http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html Un dernier mot : la fonction génératrice d’une suite
la fonction génératrice des Peut-on trouver une expression plus agréable de F ?
Nous pouvons toujours remplacer les
soit après avoir remarqué que
La convergence de la série est assurée lorsque et
soit
pour le cas réel. Si on se place dans le plan complexe les points z tels que sont à l’intérieur d’un ovale de Cassini. On a alors en passant à la limite : |
|
Pour de nombreuses généralités dans ce domaine : http://nte-serveur.univ-lyon1.fr/nte/immediato/recurrence/table.htm Le nombre d’or se retrouve évidemment dans bien d’autres situations, dans un prochain épisode nous étudierons le dodécagone où son intervention est permanente.
|
Fig. 6 : La
décomposition des nombres de Lucas en base 4… |
|