* des éléments d'Histoire des Sciences ont fait leur apparition dans les ouvrages didactiques retraçant plus ou moins brièvement l'histoire de telle ou telle découverte, de telle ou telle méthode ou formule,

* l'utilisation de l'ordinateur, non plus comme assistant d'acquisition de données ou de stockage, mais comme outil d'aide à la réflexion et à l'expérimentation numérique,

* une forte demande des élèves, des étudiants et des enseignants, voire des chercheurs pour une présentation moins théorique des mathématiques et de leurs applications. Dans la mesure où il ne peut y avoir de mise en forme scientifique autrement qu'en passant par le langage mathématique cette demande revêt un caractère prégnant.

De nombreux ouvrages de vulgarisation traitant diverses questions essentiellement dans les domaines des mathématiques et de la physique ont d'ailleurs vu le jour ces dernières années, mettant à la portée du plus grand nombre un certain nombre de connaissances auparavant réservées aux spécialistes.

Cet ouvrage a été écrit en ayant ces divers aspects en points de mire : un noyau historique pour resituer dans le temps la progression des connaissances mathématiques, des utilisations des mathématiques dans un certain nombre de domaines et la mise à la disposition du lecteur de quelques outils informatiques suffisamment simples.

L'ouvrage est structuré autour des grandes disciplines mathématiques : arithmétique, algèbre, analyse, géométrie, probabilités. ; dans chaque chapitre sont traités un certain nombre d'exemples qui présentent un intérêt soit historique, soit méthodologique, soit culturel. Une présentation historique succinte des notions abordées est également faite au début de chaque chapitre. Pour l'informatique la plupart des exemples traités sont accompagnés de fichiers créés avec quelques logiciels courants ou simples d'utilisation : pour le calcul il s'agit d'Excel, disponible sur la plupart des micro-ordinateurs, pour la géométrie, ainsi que pour quelques thèmes d'analyse il s'agit de Chamois, « shareware » similaire à Cabri, d'accès très simple. Ces fichiers sont téléchargeables sur internet à l'adresse suivante : (voir la fiche technique). Quelques situations ont nécessité l'emploi de Maple ainsi que de GeospaceW.

Les chapitres de base (Arithmétique, Algèbre, Analyse, Géométrie) sont structurés en suivant à peu près un ordre historique, les chapitres plus spécifiquement applicatifs (Equations différentielles, Probabilités, Fractales) sont moins linéaires , les thèmes abordés n'étant pas forcément reliés entre eux. Deux chapitres de culture générale commencent et terminent l'ouvrage : le premier aborde quelques notions de philosophie des mathématiques et des sciences tout en donnant un cadre historique général allant de l'antiquité jusqu'à nos jours, le dernier donne quelques aperçus sur la Relativité et la Mécanique Quantique dont une connaissance minimale semble indispensable à l'honnète homme.

Un fil conducteur qui s'est fait jour assez involontairement est la question des ondes : on les retrouve depuis le traitement de la musique chez les Pythagoriciens jusqu'au plus profond de la Mécanique Quantique, aussi un chapitre sur la Transformée de Fourier était indispensable. De même les Probabilités et les Statistiques sont un outil fondamental pour le scientifique moderne et le chapitre qui leur est consacré est assez long. Les deux chapitres Equations différentielles et Fractales et Chaos sont en partie liés puisque issus des mêmes problématiques, ils laissent la porte ouverte à de nombreux thèmes de réflexion.

Je souhaite m'excuser également auprès du lecteur pour la médiocre qualité de certaines figures : il est difficile de réduire des graphiques Excel en dessous d'un certain seuil, aussi je ne peux que vous conseiller de faire comme au 17^e siècle, à savoir imprimer les fichiers correspondants et les insérer dans votre livre.Le niveau des questions abordées varie entre celui de la classe de Troisième et celui de la Maîtrise de mathématiques. Plus sérieusement j'ai essayé de ne pas utiliser de connaissances non accessibles à un élève de Terminale scientifique ou de première année d'études supérieures, et si c'est le cas les outils nécessaires sont expliqués de la manière la plus simple possible (enfin j'espère.). Particulièrement aucune notion avancée d'algèbre n'est utilisée, seule la notion de groupe est abordée sous son aspect historique, ainsi que quelques applications très simples des matrices. On s'aperçoit d'ailleurs que certaines notions (comme par exemple la continuité uniforme ou la transformée de Fourier) s'expliquent finalement de manière aisée avec quelques exemples bien choisis.

A chaque fois que cela a été possible j'ai essayé de mettre en avant des problèmes non résolus qui se posent actuellement aux mathématiciens : certaines questions sont anecdotiques, d'au-tres plus profondes et laissent entrevoir des explications à certains phénomènes mystérieux. Quelques questions pourraient d'ailleurs inciter certains à se lancer dans un début d'explora-tion numérique et faire l'objet de travaux en TPE ou en TIPE. La bibliographie, constituée essentiellement d'ouvrages de vulgarisation, donne de nombreuses pistes de recherche supplé-mentaires.

Le livre est certainement difficile à lire d'une manière linéaire : il vaut probablement mieux prendre un thème après l'autre en utilisant les ressources fournies : refaire les démonstrations ou les calculs, explorer les possibilités offertes par les fichiers d'accompagnement, bref être actif plutôt que passif.

J'espère fournir ainsi à tous ceux concernés par les mathématiques un outil de base qui leur servira pendant de nombreuses années.

Malgré tout le soin apporté à la rédaction et aux diverses relectures il peut subsister quelques erreurs. que le lecteur veuille bien m'en excuser et si possible me les signaler.

Je tiens à remercier particulièrement C. Baud, Y. Olivier, E. Barrandon, A. Yahiatène, A. Trempé, pour leur aide et leur soutien moral tout au long de la rédaction de cet ouvrage ainsi que tous les mathématiciens, physiciens, biologistes, économistes,. dont les travaux ont fait progresser la connaissance humaine au cours des deux derniers millénaires. Enfin une pensée pour tous les élèves et étudiants dont les questions, souvent pertinentes, m'ont amené à la rédaction de cet ouvrage. Les images de fin de chapitre sont pour la plupart dues à J.F. Colonna de l'Ecole Polytechnique.

Montpellier, août 2002.

Motivation

Donc le jour de la rentrée je pris contact avec ma stagiaire que nous appelerons Julie pour les besoins de l'histoire ; Julie était pleine de bonne volonté, un peu terrorisée également à l'idée de faire son premier cours, mais dans l'ensemble ça allait. Le début de l'année se passa d'ailleurs plutôt bien et nous nous voyions régulièrement pour échanger nos impressions (j'assistais régulièrement à certains cours). Dans le courant de nos conversations je faisais souvent référence à l'histoire des mathématiques ainsi qu'à des applications qu'elle aurait pu présenter à ses élèves, mais je sentais bien que mes paroles ne portaient pas vraiment. Il y avait certainement un petit problème que j'ai d'ailleurs vite analysé : ce que je lui racontais n'éveillait rien en elle, ça ne faisait pas partie de sa culture, personne ne lui avait enseigné ce genre de choses et quand vous avez vingt-cinq ans vous n'avez pas forcément envie de vous plonger dans des livres d'histoire des mathématiques ou de chercher des applications que vous pourriez enseigner à des élèves plus ou moins attentifs.

Vers le milieu de l'année je proposais à Julie de venir faire une sorte de conférence dans sa classe avant qu'elle ne parle de trigonométrie : je fais un petit laïus agrémenté de quelques transparents sur la découverte de l'Amérique, le calcul de la position en mer, la mesure du méridien terrestre, etc. qui montre à quoi sert la trigonométrie. Et là je vis que je n'avais pas que des élèves d'une quinzaine d'années devant moi, je vis qu'elle aussi découvrait toute une face des choses qu'elle n'avait jamais envisagée. Je sortis de ces séances (m'étant laissé entraîner par mon sujet, ça a duré deux heures.) assez content de moi mais également un peu perplexe : ces connaissances qui devraient probablement faire partie du bagage de base d'un enseignant, même en cours de formation, n'avaient certainement jamais été abordées devant elle pendant sa scolarité aussi bien dans le secondaire que le supérieur.

Quand je réfléchis à l'enseignement que j'ai reçu et que je vois les difficultés que j'ai eues à trouver la documentation nécessaire au livre que vous tenez entre les mains je comprend mes stagiaires ! Tout est dispersé : soit vous trouvez des livres généraux qui vous laissent complètement sur votre faim, du genre « je vous raconte ça bien que ce soit très compliqué et comme de toutes manières mon éditeur ne veut pas voir une équation, vous n'en saurez pas plus » ou alors c'est essentiellement de la technique : théorème, lemme, corrolaire, applications, etc. Quand à l'histoire des sciences qui pourtant présente un intérêt fondamental, elle ne fait que très rarement référence à des choses plus modernes, se cantonnant volontairement au sujet abordé : elle fonctionne par strates et rarement de manière transversale (quoique les choses évoluent un peu). C'est peut-être normal, mais ça n'aide pas beaucoup à comprendre : il manque toujours des éléments.

Par ailleurs il est nécessaire de maîtriser un minimum de technique pour comprendre : imaginez que l'on vous parle des problèmes qu'a posée l'intégrale de Riemann et que vous ne sachiez pas ce qu'est une intégrale, vous n'irez pas bien loin. Mais la technique peut être rendue plus douce : si on replace une notion dans un cadre historique (historiquement il y a toujours une excellente raison à l'introduction d'une notion nouvelle) et que l'on arrive à manipuler cette notion sous une forme ludique (au début en tout cas, il est très difficile de faire des mathématiques quand on ne s'est pas attaqué à des difficultés un peu lourdes), il y a des chances pour que la compréhension vienne mieux et plus vite. Il est difficile pour un étudiant de se lancer seul à l'attaque de notions nouvelles, et pourtant : la possibilité de s'approprier telle ou telle notion de son propre chef, en autonomie comme on dit maintenant ne semble-t-elle pas plus efficace ? Il me semble que c'est plus une question d'état d'esprit que de réel handicap. Quand on regarde les notions nécessaires à l'étudiant en Sciences jusqu'à la licence, il n'y a pas tant de choses sous-jacentes. La difficulté est essentiellement dans la quantité, mais si on a une vue globale des choses, si on a réellement compris les enjeux de tel ou tel problème, si on arrive à replacer tel ou tel objet dans une perspective plus large quel gain de temps, quel gain en termes de compréhension.

Je vais prendre un exemple vécu pour illustrer mon propos : lorsque j'étais au Lycée, à la grande époque des maths modernes, on nous enseignait les rudiments de l'algèbre linéaire : espaces vectoriels, bases, matrices, déterminants. Arrivé à l'Université même topo en plus théorique et avec davantage de notions. Pendant toutes ces années d'études personne ne m'a dit à quoi ça servait en pratique ni pour quelles raisons on en avait besoin, personne ne m'a dit : « lisez ce livre, ça vous donnera peut-être une idée plus claire de la question ». Au niveau du calcul, des problèmes ça marchait à peu près correctement, mais la compréhension n'était pas vraiment là. Il a fallu que j'enseigne moi-même ces choses, que je me documente par moi-même pour comprendre un peu mieux tout ce qu'il y avait par en-dessous.

Mes buts lorsque je me suis lancé dans la rédaction de cet ouvrage étaient donc les suivants : premièrement donner un aperçu historique sur un certain nombre de notions qui m'ont semblé particulièrement fondamentales. Au passage j'ai essayé d'aller un peu plus loin que la présentation habituelle en essayant d'introduire quelques problématiques plus modernes. Deuxièmement essayer de montrer de quelle manière ces notions se retrouvent dans certains domaines des sciences : ce sera bien sûr essentiellement en physique, mais également en économie ou dans quelques domaines qui ont utilisé les mathématiques dans leur développement. Troisièmement donner des outils facilement utilisables, soit pour les mathématiques elles-mêmes, soit pour les autres matières : j'espère que les physiciens ou d'autres y trouveront leur compte. Ces outils sont informatiques : chaque figure numérotée du livre correspond à un fichier téléchargeable sur Internet : on peut les utiliser tels quels en modifiant les divers paramètres ou bien les retravailler dans un but bien précis ; ce sont des modèles utilisables.

Enfin j'ai essayé de mettre en avant la méthode de recherche : de nombreuses questions sont vitales pour notre compréhension du monde et n'ont toujours pas de réponse ; aussi j'ai essayé d'en présenter quelques unes afin de pousser mes sagaces lecteurs dans la voie de la découverte, de la recherche, de l'imagination.

Techniquement parlant la plupart des chapitres commencent par des notions relativement simples avec éventuellement des rappels puis la pression monte petit à petit, aussi si vous n'êtes pas trop familier de certaines notions ne vous attardez pas et changez de thème : les notions mathématiques utilisées sont souvent imbriquées et le classement effectué n'est pas forcément le plus facile à suivre.

Voilà, Julie est partie à la fin de l'année vers d'autres cieux, peut-être lira-t-elle ce livre et me donnera-t-elle de ses nouvelles, en tout cas j'espère que vous, lecteur, prendrez autant de plaisir à lire cet ouvrage que j'en ai eu à l'écrire.