Polynômes orthogonaux : Legendre

Par contre les différents fichiers Maple sont accessibles directement avec les animations :

1. Introduction

2. Formule de Rodrigues

3. Equations différentielles

4. Polynômes de Legendre

4. 1 : Fonction génératrice

4. 2 : Relation de récurrence et équation différentielle

4. 3 : Représentation intégrale

4. 4 : Comportement asymptotique

4. 5 : Développement de fonctions en série de polynômes de Legendre : généralités

4. 6 : Développement de fonctions en série de polynômes de Legendre : exemples

4. 7 : Applications : potentiel d’un dipôle électrique

4. 8 : Le problème du potentiel pour une sphère (problème de Dirichlet, 1^ère partie)

5. Fonctions de Legendre associées de première espèce

5. 1 : Définition

5. 2 : Fonctions hypergéométriques

5. 3 : Orthogonalité

5. 4 : Fonction hypergéométrique associée et prolongement analytique

5. 5 : Le problème du potentiel pour une sphère (problème de Dirichlet, 2^ème partie)

5. 6 : Le théorème d’addition

5. 7 : Fonction de Green

5. 8 : Comportement asymptotique des fonctions associées

6. Solution générale de l’équation complète de Legendre

6. 1 : Les fonctions de seconde espèce

6. 2 : Les fonctions associées de seconde espèce

6. 3 : Le cas où n est un demi-entier

6. 4 : Oscillations électromagnétiques d’une cavité sphérique

6. 5 : Le problème de Dirichlet pour un cône

1. Introduction

Dans le chapitre précédent (Analyse de Hilbert), nous nous sommes arrêtés au moment le plus intéressant, là où on commence à parler des applications… Le moment est donc venu de s’attaquer à un gros morceau, les polynômes de Legendre. Ces derniers vont se prolonger en diverses fonctions qui servent (entre autres) à résoudre l’équation de Laplace sur une sphère ou un cône dans l’espace standard ; combinées avec des fonctions classiques on obtient les harmoniques sphériques qui servent de manière intense en mécanique quantique : ces dernières devraient faire l’objet d’un autre chapître.

Curieusement la documentation sur ce sujet est très limitée sur Internet, la bibliographie quand à elle est également assez limitée, les auteurs modernes rechignant visiblement à donner un point de vue plus récent sur ces questions… (ou alors je n’ai pas bien cherché… on peut d’ailleurs consulter à cet égard le site de Sylvain Poirier http://spoirier.lautre.net/). Enfin, heureusement que la littérature russo-anglo-saxonne est là…

La bibliographie est la même que pour Analyse de Hilbert.

Bibliographie

[Ang] A. Angot, Compléments de Mathématiques, Masson et Cie, 1970

Très clair et succinct, amplement suffisant jusqu’en Spé. On le trouve parfois d’occasion.Bien complet et des applications intéressantes à l’Electricité.

[App] W. Appel, Mathématiques pour la physique et les physiciens, H&K éd., 2002

Passe un peu vite sur pas mal de trucs, mais reste compréhensible.

[Att] M. Attéia & J. Gaches, Approximation hilbertienne, EDP sciences, 1999

La première partie sur les splines est illisible. La partie ondelettes est plus sympa.

[Boc] N. Boccara, Distributions, Ellipses, 1996

Un petit livre pas très épais mais très clair et facile à lire. Recommandé pour débuter.

[Bur] B. Burke Hubbard, Ondes et ondelettes, Belin, 1995

Vulgarisation sur les ondelettes, mais touche à pas mal de choses. Intéressant et très lisible.

[Dem] G. Demengel, Transformations de Laplace, Ellipses, 2002

Malgré une présentation un peu fouillis on y trouve l’essentiel à connaître sur ce genre de questions.

[God] S. Godounov, Equations de la physique mathématique, Ed. Mir, Moscou, 1972

Ne traite pas spécifiquement de ces questions, mais indispensable pour avoir une vue d’ensemble sur les équations aux dérivées partielles habituelles.

[Hoc] H. Hochstadt, Les fonctions de la physique mathématique, Masson et Cie, 1973

Epuisé (on le trouve en anglais), mais très intéressant ; les calculs sont parfois rudes mais méritent de s’y attarder.

[Leb] N.N. Lebedev, Special functions & their applications, Dover, N.Y., 1965 (1972)

Beaucoup d’applications, à mon sens l’ouvrage « récent » le plus complet que j’ai trouvé…

[Pou] G. Demengel & J.P. Pouget, Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS, Ellipses, 1998

Très utilisable et très concret.

[Ric] D. Richards, Advanced marthematical methods with Maple, Cambridge University press, 2002.

On ne peut que se réjouir de l’existence d’un tel ouvrage. Indispensable.

[Rom] J. E. Rombaldi, Interpolation et Approximation, Vuibert, 2005

Bon petit ouvrage sur l’approximation et les noyaux.

[Sch] L. Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, Paris, 1979

Assez théorique, mais reste lisible avec un niveau Bac+3.

[Sne] I. N. Sneddon, Fourier Transforms, Dover, New-York, 1951 (1995)

Beaucoup d’applications à des domaines variés. Explications assez claires même s’il faut un bon niveau parfois.

[Spa] J. Spanier & K. Oldham, An Atlas of functions, Hemisphere Pub. Cy., N.Y., 1987

Un catalogue raisonné des fonctions utilisées par les physiciens essentiellement.

[Val] G. Valiron, Equations fonctionnelles, Masson et Cie, Paris, 1950 (rééd. J. Gabay, 1989)

Ca a pas mal vieilli, mais on trouve quand même l’essentiel sur la résolution des équations différentielles et les principales méthodes.

[Whi] E. T. Whittaker & G. N. Watson, A modern course of analysis, Cambridge University Press, 1927 (2003)

Bien que ce soit en anglais c’est assez facile à lire. La référence est une réimpression de la 4^ème édition datée de 1927. Le livre par lui-même contient beaucoup de choses autres.

[EUn] Encyclopédie Universalis, article Fonctions (représentation et approximation) et ceux associés, ed. électronique, 2005.

L’ensemble est assez bon. Peut servir de base.

Sur Internet, pas mal de choses…voir par exemple :

Quelques applications : http://www.unice.fr/DeptPhys/pilot/node1.html

A propos de la théorie de la chaleur :

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/conducti/cddex.htm

Une autre page sur la Chaleur, mais en plus complet :

http://gershwin.ens.fr/vdaniel/Doc-Locale/Cours-Mirrored/Operateurs-Differentiels/www.chez.com/touslescours/math/cours/opdiff/node1.html

[Wei] Pour une tripotée de formules et de liens on consultera évidemment :

http://mathworld.wolfram.com/HilbertBasis.html

ainsi que tous les liens du site.

Beaucoup de choses intéressantes sur http://www.sciences.ch/htmlfr/introduction.php, on profitera également des liens vers de nombreux textes disponibles en pdf.

Cours d’analyse numérique :

http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-19/numeri.pdf

Equations aux dérivées partielles :

http://w3-phystheo.ups-tlse.fr/~robert/licadmin/ul1b/www/1er.03-04/ced2/ced2.html

Un peu de Maple : http://www.lptl.jussieu.fr/users/viot/td.html

Transformée de Hankel :

http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/betancor8407.prepub/body/PDF/betancor8407.prepub.pdf?file=betancor8407.prepub

Beaucoup de choses ici, mais en fouillant : http://www.mathpages.com/home/index.htm

Pour les ingénieurs, un cours complet et clair :

http://www.site.uottawa.ca/~remi/Equadif2.pdf

http://www.site.uottawa.ca/~remi//jnumcsi.pdf

http://www.site.uottawa.ca/~remi/ing.pdf