Applications des fonctions de Bessel :
équations de Maxwell
3. Les équations de Maxwell
Si on exprime les champs électrique E et magnétique B grâce aux équations de Maxwell dans un milieu isotrope de constante diélectrique et de permittivité on a :
prenons un système de coordonnées orthogonales dont l’élément de longueur ds est et exprimons nos équations :
La solution générale de ce système d’équations s’obtient en considérant deux fonctions E et B situées dans des plans différents, c’est-à-dire en annulant une composante de E, par exemple en prenant E1 = 0 ainsi qu’une composante de B, par exemple B1 = 0. Cette méthode ne donne pas les solutions générales dans tous les systèmes de coordonnées mais dans ceux pour lesquels e1 ne dépend que de la coordonnée x1 et ne dépend pas de x1 ; dans ces conditions on peut prendre e1 = 1 sans perte de généralité. On a alors deux types de solution :
3-a : B1 = 0 : onde transverse magnétique ou onde électrique
soit , ce qui peut aussi s’écrire où P est une fonction arbitraire.
En remplaçant dans (2. b) et (2. c) on a alors : , soit avec les informations disponibles sur e1, e2 et e3 :
.
Si on pose ces formules deviennent
.
On obtient des diverses équations les expressions de E2, E3, B2 et B3 :
.
En reportant ces expressions dans (1. b) ou (1. c) on obtient
,
en les reportant dans (2.a) on a
,
d’où l’équation suivante pour la fonction U :
.
3-b : E1 = 0 : onde transverse électrique ou onde magnétique
Avec l’hypothèse E1 = 0, les calculs précédents redonnent exactement la même équation pour la fonction U. Les composantes du champ électromagnétique sont alors :
.
3-c : Cas où le champ est une fonction sinusoidale du temps
Cette situation est la plus fréquente ; on pose alors . Si v est la vitesse de l’onde dans le milieu on a : , , la nouvelle fonction U est alors donnée par
.
L’expression du champ devient (en sous-entendant le facteur )
pour l‘onde électrique :
pour l‘onde magnétique :
.
3-d : Oscillations électromagnétiques dans une cavité en forme de parallélépipède
On utilise évidemment les coordonnées rectangulaires d’où ; la fonction U est simplement solution de . Posons alors U sous forme de produit de Laplace , remplaçons dans l’équation et divisons tout par XYZ :
.
Comme chacun des termes ne dépend que d’une seule variable, le seul moyen de satisfaire cette équation consiste à poser
, et
avec , , complexes et . Ce système se résout facilement, la solution est alors
où A, B et C sont des constantes complexes. Les constantes , , ainsi que A, B, C dépendant uniquement des conditions aux limites.
En l’occurrence les champs électriques tangentiels doivent s’annuler sur les parois :
,
,
ce qui donne après quelques calculs
pour la solution transverse magnétique (onde électrique) et
pour la solution transverse électrique (onde magnétique), avec les valeurs , n, m, p entiers. Une fois que U est connue, il est facile d’obtenir les différentes composantes du champ.
La condition donne la longueur d’onde .
Dans la solution transverse magnétique les triplets
ne donnent pas de solutions ; l’oscillation donnant la plus grande longueur d’onde sera associée à , ce qui donne .
Dans la solution transverse électrique les premiers triplets solution sont et .
Notez que dans l’analyse initiale du problème on a donné un rôle particulier à et donc à la direction (Ox) ; les solutions générales doivent être valables dans toutes les directions de l’espace et on doit ajouter toutes celles obtenues par permutation circulaire de x, y et z.
Autre remarque : lorsqu’on pose , en fait il faut rajouter un facteur constant : où K dépendra des conditions aux limites et donc des nombres , , . Pour chaque mode de vibration on aura un K différent… dépendant d’autres conditions initiales.
3-e : Oscillations électromagnétiques dans une cavité en forme de cylindre de révolution
On suppose que le matériau constituant les parois du cylindre est infiniment conducteur et que la cavité est fermée par deux sections droites distantes de L. Comme d’habitude on s’intéresse aux fonctions sinusoïdales du temps et nous prenons un système de coordonnées cylindriques avec , et . Les conditions du début sont remplies : , , ; l’équation
devient alors
,
équation rencontrée au chapître Fonctions de Bessel,§1-e.
Le produit de Laplace correspondant est alors
avec , .
Si le rayon vecteur peut tourner librement d’un nombre entier de tours, le champ reprendra les mêmes valeurs périodiquement et , entier, soit
, .
Si la cavité cylindrique est vide, le champ doit avoir des valeurs finies pour , ce qui conduit à éliminer la partie de Zn en Yn : la solution est alors simplement
.
Les composantes du champ s’écrivent alors
- pour l’onde transverse magnétique (onde électrique E) :
,
- pour l’onde transverse électrique (onde magnétique B) :
,
Si on note R le rayon du cylindre, l’annulation des champs électriques tangentiels sur les parois donne les conditions aux limites :
, ;
pour E on doit alors avoir , , m entier, et le produit de Laplace :
,
pour B on doit alors avoir , , m entier, et le produit de Laplace :
.
Appelons la p ième racine non nulle de et la pième racine non nulle de ; on a alors
- pour l’onde transverse magnétique (onde électrique E) :
,
Dans le vide, la fréquence de cette oscillation est égale à
,
la plus basse fréquence est alors obtenue pour m = 0 et n = 0, la première racine non nulle de étant 2,40482. On a lors une fréquence de avec R en cm.
- pour l’onde transverse électrique (onde magnétique B) :
, .
Dans le vide, la fréquence de cette oscillation est égale à
,
le champ B s’annulant complètement pour m = 0, il faut donc prendre au moins m = 1 ;
pour n = 0 la première racine non nulle de est 3,8317 et la fréquence obtenue est environ ;
pour n = 1, la première racine non nulle de est 1,8412, la fréquence obtenue est environ .
Les différentes oscillations sont déterminées par les triplets (n, m, p) : m détermine la périodicité le long d’une direction parallèle à (Oz), n détermine la période de répétition lorsque le rayon vecteur tourne autour de (Oz), p détermine le nombre de cercles nodaux sur lesquels certaines composantes du champ s’annulent. La fréquence la plus basse des ondes E correspond donc au triplet (0, 0, 1), des ondes B à (1, 1, 1).
3-f : Oscillations électromagnétiques dans une cavité en forme de cylindre de révolution de longueur infinie
Le calcul est identique à celui du paragraphe précédent et on a où les conditions aux limites se réduisent à pour .
Le paramètre a est donné par pour l’onde transverse magnétique et par pour l’onde transverse électrique, ce qui donne :
- pour l’onde transverse magnétique (onde électrique E) :
, ;
- pour l’onde transverse électrique (onde magnétique B) :
,
Chaque type d’onde est déterminé par un groupe de deux nombres entiers (p, n). A une fréquence déterminée correspond une série de valeurs de q possibles :
ou .
Comme précédemment la fréquence la plus basse des ondes E correspond à p = 0, soit , la fréquence la plus basse des ondes B est pour p = 1, soit ; pour q = 0 les fréquences minimum ont une longueur d’onde infinie et une vitesse de propagation infinie dans le guide.
On peut ici remarquer que la solution a = 0 n’est jamais prise en compte : dans ce cas la fonction R du produit de Laplace serait , ce qui donne pour (lequel doit s’annuler en et ) : , soit qui est infini lorsque l’on est sur (Oz). On ne peut donc pas annuler . Le raisonnement vaut également pour les ondes B.
3-g : Le cas du guide coaxial
Le cable coaxial, rentré dans les mœurs courantes pour la transmission des ondes HF de la télévision, est constitué de deux cylindres imbriqués l’un dans l’autre. La situation se complique par le fait que le domaine d’existence des solutions ne contient pas l’axe du cylindre et que l’on ne peut exclure la solution en Yn.
Le produit de Laplace du 3-e contiendra donc le terme où les constantes k1 et k2 sont déterminées par les conditions aux limites :
où R1 et R2 sont les rayons extérieur et intérieur du cable coaxial. Pour que ce système admette des solutions non nulles, il faut que son déterminant soit nul, soit
.
Soit une des racines de cette équation, on aura alors pour les ondes transverses magnétiques :
.
Pour les ondes transverses électriques le raisonnement est identique mais on prend les racines de
,
ce qui donne : .
Les méthodes vues précédemment permettent de résoudre facilement et d’écrire les solutions en général ; par contre l’élimination du terme n’est plus possible, n’étant jamais nul. Le terme lui, n’est toujours pas possible car il est impossible de trouver A, B et n pour lesquels et soient nuls pour ou . On a donc la solution suivante :
et
pour laquelle on peut choisi n’importe quelle fréquence. Il n’y a donc pas de fréquence de coupure dans ce cas, ce qui explique son utilité dans les transports haute fréquence.
Signalons que le même problème, mais avec plusieurs cylindres à l’intérieur d’un guide, se pose pour les fibres optiques et que la solution analytique n’existe pas. Les ressources modernes de calcul s’imposent alors et nécessitent le recours à des logiciels et des traitements spécialisés.
Voir par exemple http://www.cerfacs.fr/emc/FileReports/TR_EMC_98_32.pdf