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Fichier au format pdf : derivees.pdf
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1. Dérivée d'une fonction composée |
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Soient I et J deux intervalles de |
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Démonstration |
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Si f est dérivable en a alors |
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si g est dérivable en b alors |
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d'où |
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si w tend vers 0, le terme |
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également, donc |
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d'où |
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les deux derniers termes tendent vers 0 lorsque w tend vers 0, le nombre dérivé est alors g'(b)f'(a) comme annoncé.
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Ce qui est intéressant dans la dérivation c'est que c'est une application linéaire : notons D l'opération dérivation d'une fonction : D(f)=f' ; comme D(u+v)=u'+v'=D(u)+D(v) et D(au)=au'=aD(u) c'est bien linéaire. |
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Ceci reste bien évidemment valable pour des dérivées partielles : on notera Dx la dérivation partielle par rapport à la variable x : |
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Comme une application linéaire peut se représenter par une matrice, on peut dans le cas des fonctions de plusieurs variables traduire les différentes dérivées partielles par une matrice comportant autant de colonnes que le nombre de variables et autant de lignes que le nombre de fonctions à l'arrivée. |
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Par exemple une fonction vectorielle de |
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on dira alors que la différentielle de f en a est l'application linéaire dfa : |
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en fait c'est nettement plus simple d'écrire ceci sous la
forme suivante qui est identique à la
définition pour les fonctions d'une variable : |
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Un cas particulièrement intéressant est celui des fonctions
holomorphes f(x+iy)=u+iv dans |
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(conditions de Cauchy) : la matrice des dérivées partielles vaut initialement |
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et donc ici |
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soit une matrice de similitude directe . |
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si u est dérivable deux fois par rapport à x et y (et comme le dit R. Godement c'est heureusement le cas le plus général).
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Le jacobien permet d'effectuer les changements de
variable nécessaires dans certaines intégrales : nous souhaitons faire un
changement de variables en dimension 2 (on peut généraliser sans problème)
c'est à dire passer d'une fonction |
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et la fonction |
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devient |
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Mais dans le changement de variable les points de départ et
d'arrivée doivent être identiques, à savoir |
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Appliquons la dérivation des fonctions composées (c'est
encore possible avec plus d'une variable) à la relation précédente en utilisant
nos matrices et en notant |
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soit |
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d'où |
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les dérivées de |
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Pour que |
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soit |
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ne soit pas
nul ; ce nombre est donc le Jacobien de |
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Vous pouvez essayer avec le changement inverse |
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Revenons au problème des intégrales : on a à calculer par exemple |
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et on veut faire le changement de variable |
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soit |
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par exemple on cherche |
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en faisant le changement de variable cartésiennes à polaires on a |
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il reste à changer dxdy (et les bornes). |
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L'idée générale et valable pour n'importe quel nombre de
variables est de considérer que le terme dxdy représente un 2-volume qui
va être transformé en un autre 2-volume dudv par |
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Le signe du jacobien peut jouer un rôle, mais comme il
induit souvent des erreurs il vaut mieux prendre sa valeur absolue quitte à
modifier les bornes pour respecter les signes.
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