Ce texte est tiré du document d'accompagnement fourni aux professeurs de TS en septembre 2002. Je l'ai ressaisi pour que vous puissiez en profiter, que vous soyez enseignant, étudiant ou autre... J'ai rajouté quelques commentaires personnels à la fin.
1. Introduction Parmi les quatre interactions fondamentales qui structurent le monde naturel,
gravitation, interaction électromagnétique, interaction forte
et interaction faible, trois sont à l’œuvre dans le noyau de l’atome,
les deux dernières l’étant de façon spécifique.
Curieusement, la première information en est venue, il y a un siècle,
non à partir des noyaux les plus stables qu’elles sont susceptibles d’édifier,
mais au contraire des noyaux à la limite de stabilité, les noyaux
dits radioactifs. De l’origine de l’énergie solaire au maintien d’une
Terre chaude et dynamiquement active, de l’origine des éléments
chimiques à celle des rayons cosmiques, de la fabrication d’armes terrifiantes
à la production d’énergie, de la gestion des déchets nucléaires
à l’imagerie médicale ou la médecine curative, les phénomènes
nucléaires ont modifié notre vision du monde et pénétré
nombre d’activités humaines. Il est important que les élèves
de lycée en aient une première perception, en ce qui concerne
tant le phénomène physique que ses applications technologiques
et géologiques. |
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Si les découpages disciplinaires ont certes leur fonction (après
tout, ils correspondent pour une part à la structuration de la nature
et à notre façon de l’appréhender), l’exemple de la radioactivité
illustre en quoi une recomposition des connaissances relatives à des
champs disciplinaires différents accroît les possibilités
de compréhension. 2. La loi macroscopique de désintégration radioactive retour Pourquoi certains noyaux sont-ils instables ? La structure des noyaux atomiques (A nucléons dont Z protons et N = A-Z neutrons) résulte de la compétition entre les deux interactions existant entre les constituants : 1) L’interaction forte, attractive, entre nucléons, qu’ils soient neutrons ou protons ; elle est intense, mais de courte portée : éloignés de plus de 3 ou 4 femtomètres (fm, 1 fm = 10–15 m), deux nucléons ne se « voient » plus par interaction forte. Cette interaction, pour des raisons que l’on n’explicitera pas ici, privilégie les noyaux avec un nombre égal de protons et de neutrons (un signe de cette caractéristique peut être décelé dans le fait que le noyau de deutérium, isotope lourd de l’hydrogène (un proton + un neutron) est stable, alors que le « di-neutron » et le « di-proton » n’existent pas). 2) L’interaction électrique (dite « coulombienne ») entre charges électriques de même nature, en l’occurrence les protons. Aux distances en jeu dans le noyau, elle est environ dix fois moins intense que l’interaction forte, mais elle est de longue portée : chaque proton interagit avec tous les autres. Sa contribution à l’énergie totale du noyau est proportionnelle au nombre de couples de protons, soit Z(Z – 1)/2. Comme Z est de l’ordre de A/2, le nombre de couples est de l’ordre A2. Le potentiel coulombien entre deux charges variant comme l’inverse de leur distance, la contribution à l’énergie est ramenée en fait à une dépendance en A5/3. Il résulte de ces caractéristiques que l’interaction forte attractive contribue à l’énergie du noyau par un terme proportionnel au nombre total A de nucléons (chaque nucléon n’interagissant qu’avec ses proches voisins), alors que l’interaction coulombienne répulsive contribue par un terme proportionnel à A5/3 : l’interaction coulombienne, bien que moins intense que l’autre, finit par l’emporter lorsque A augmente. Au-delà d’un certain nombre de protons, les noyaux deviennent instables, et le tableau de Mendeleiev s’arrête. Les valeurs numériques particulières des constantes caractéristiques des interactions expliquent que ce nombre maximum est 92, et qu’ainsi le tableau périodique de Mendeleiev s’arrête, pour les éléments naturels, à l’uranium. Remarques Il est commode de représenter les noyaux atomiques dans le plan (N, Z). Un noyau est représenté par un point de coordonnées entières. Les noyaux légers sont groupés autour de la droite N = Z, c’est un effet mentionné de l’interaction forte. Les quelques caractéristiques développées ci-dessus permettent de comprendre où se trouvent les noyaux radioactifs dans ce plan : puisque l’interaction nucléaire privilégie les noyaux avec N semblable à Z, les noyaux avec « trop » de protons ou « trop » de neutrons sont instables. Avec trop de protons, ils peuvent être émetteurs β+ (un proton se transforme spontanément en neutron dans le noyau avec émission d’un positron) ou capturer un électron du cortège; avec trop de neutrons, ils sont émetteurs β– (un neutron se transforme spontanément en proton dans le noyau avec émission d’un électron). Ces deux processus sont gouvernés par l’interaction faible. Enfin ceux qui sont « trop » lourds, vers la fin du tableau de Mendeleiev, sont émetteurs : ils se transforment spontanément en noyaux plus légers en émettant un noyau d’hélium. La radioactivité γ est une émission de rayonnement électromagnétique, provenant de la désexcitation de noyaux qui ne sont en général pas produits dans leur état d’énergie fondamental. 3. La loi de désintégration radioactive retour L’expérience suggère que, si l’on considère une population
macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est
de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit Dans ce texte, l’accent est mis sur la synergie nécessaire entre physique et mathématiques pour une bonne compréhension du phénomène, en particulier concernant les deux aspects suivants : (i) l’étude empirique de la désintégration radioactive conduit à considérer un objet mathématique nouveau pour les élèves, appelé équation différentielle et (ii) on établit un modèle physique microscopique de la désintégration, qui rend compte de la loi macroscopique observée pour l’évolution de la valeur moyenne du nombre de noyaux existant à un instant donné. |
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4. Fonctions vérifiant f’= kf retour L’équation f’ = kf est une équation où l’inconnue
est une fonction : c’est un objet nouveau pour l’élève de terminale.
La ou les solutions, si elles existent, sont des fonctions. Il faut remarquer
ici que le seul fait de poser une équation n’implique pas qu’elle ait
des solutions. Par exemple, les élèves peuvent facilement vérifier
qu’aucune fonction polynôme, et plus généralement aucune
des fonctions connues à leur entrée en terminale n’est solution
de l’équation. On peut donc s’interroger sur l’existence et l’unicité
de la solution qui prend une valeur donnée en un point donné. Du point de vue mathématique, la méthode d’Euler lie donc la
valeur de f(t) à celle de la limite éventuelle de
la suite de terme général (1 + t/n)n
: cette question est traitée dans l’annexe 1, où l’on déduit,
de façon rigoureuse, quelques propriétés de f. On
passe ensuite à l’étude des équations f’ = kf
; on caractérise les solutions de ces équations ayant pour valeur
1 en 0. Ce sont les fonctions dérivables transformant les sommes en produits.
Diverses propositions sont établies, dont les démonstrations sont
l’occasion d’approfondir la notion de dérivée, de manipuler cette
nouvelle fonction f et de justifier la notation f(t) =e
t. |
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5. Loi microscopique de désintégration radioactive retour Ce paragraphe utilise des résultats du cours de mathématiques de Terminale : propriétés de la fonction exponentielle, de l’intégrale d’une fonction continue et de la loi binomiale. En physique, l’expérience a permis de poser l’équation suivante : N’(t) = – λ N(t) où N(t) représente la moyenne du nombre de noyaux présents à l’instant t. On en déduit la loi d’évolution : N(t) = N(0) e–λt. On remarquera que pour toute valeur de t et t0,
on a aussi : N(t + t0) = N(t0)
e–λt. Autrement dit, l’origine des temps
importe peu dans l’étude de ce phénomène : on peut «
repartir de 0 » quand on veut, l’équation modélisant l’évolution
du nombre moyen d’atomes est toujours la même. On notera F(t) la probabilité pour que la durée
de vie d’un noyau soit comprise entre 0 et t, soit F(t)
= P([0, t]). La loi de probabilité P étant à
densité continue, on peut écrire :
où f est une fonction continue positive sur R+,
appelée densité de P. Remarques : |
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6. Du microscopique au macroscopique retour La loi de probabilité du nombre de noyaux qui se désintègrent
entre les instants 0 et t, t fixé, est une loi binomiale
B(n, p) avec n = N(0) et p = F(t)
= 1 – e–αt. L’espérance (moyenne
théorique) de cette loi est donnée par le produit np, soit
ici Remarques : La proportion X(t)/N(0) du nombre exact de noyaux qui se désintègrent
pendant un intervalle de temps t est proche de la probabilité F(t) de désintégration
d’un noyau entre les instants 0 et t. Soit : où F(t) = (1 – e–λt). Les demi-vies des noyaux radioactifs couvrent une gamme étonnamment
large de valeurs, comme le montrent les quelques cas suivants : Remarque – On peut se demander comment il est possible de mesurer des demi-vies de l’ordre du milliard d’années. Un calcul d’ordre de grandeur des taux de désintégration escomptés permet de fixer les idées. Considérons un échantillon de 238 g d’uranium-238. Il contient environ 6,02 × 1023 noyaux d’uranium. Le taux de désintégration (par émission ) – est donc de l’ordre de 500 000 par seconde. En mesurant dN(t)/dt, on peut donc avoir accès à . Les sources d’incertitude proviennent bien sûr de la détection. Cette variété de valeurs des demi-vies est une chance, car
elle permet d’effectuer des datations pour toutes les échelles de temps nécessaires. Décrivons
brièvement la méthode de datation dite « au carbone-14 ». Datation au carbone-14 : Le carbone-14 est produit en haute atmosphère lors de réactions
nucléaires induites par des protons rapides d’origine galactique. Lors de ces réactions,
des neutrons rapides sont libérés, qui peuvent être capturés
par les noyaux d’azote de l’air selon le schéma : .
Exemple : dans 1 g de carbone naturel actuel, de masse molaire moyenne 12
g, il y a 6,02 × 1023/12 soit 5 × 1022 noyaux. Parmi ceux-ci, environ 5
× 1022×1,3 × 10-12 = 6,5 × 1010 sont des noyaux de carbone-14. Le taux de désintégration
– dN/dt =λN(0) est donc de ln(2) × 6,5 × 1010/(5730 × 3 ×
107) = 0,26 par seconde (il y a en effet environ 3 × 107 secondes dans une année). Au bout de deux
fois la demi-vie, soit 11 460 ans, ce taux est réduit d’un facteur exp(2ln2) = 4. Le
taux de comptage mesuré est beaucoup plus faible : il tient compte de la fenêtre
d’entrée du détecteur et de l’efficacité de celui-ci. Détermination de l’âge de la Terre par la méthode rubidiumstrontium
: Rutherford, il y a un siècle, fut le premier à avoir l’intuition
que la radioactivité, présente dans les roches, pouvait servir à déterminer
l’âge de celles-ci. Les roches provenant de l’intérieur de la Terre et métamorphiques
(transformées sous l’effet des hautes températures et pressions internes) sont formées
de minéraux. Ces minéraux sont composés de constituants majeurs non radioactifs
(K, Al, Na, Ca, Si, O, etc.), mais des éléments plus rares susceptibles de présenter
des désintégrations radioactives (le rubidium par exemple) peuvent s’insérer dans le réseau
cristallin à la place des constituants majeurs (strontium et rubidium à la place du
potassium par exemple). Une roche cristallise en une durée très courte à
l’échelle géologique, et l’on peut donc considérer que ce processus est instantané.
La méthode rubidium-strontium de datation des roches repose sur la
désintégration du rubidium-87 en strontium-87. Un neutron du noyau de rubidium se transforme
spontanément en proton (le noyau de rubidium devient ainsi un noyau
de strontium), avec éjection d’un électron (conservation de la charge) et
d’un anti-neutrino :
ou encore, en utilisant la relation (1) : N(87Rb) × [exp (λt) – 1]. On reporte les valeurs mesurées à l’instant t (actuel) pour les rapports isotopiques dans différents minéraux dans un plan de coordonnées {x = N(87Rb)/N(86Sr), y = N(87Sr)/N(86Sr)}. L’équation ci-dessus est celle d’une droite, de pente exp(λt) – 1. Pour pouvoir tracer la droite, et en déduire l’âge t de la cristallisation de la roche, il est nécessaire d’avoir au moins deux échantillons. Les abondances sont déterminées par spectrométrie de masse. Les points expérimentaux s’alignent sur une droite (voir les étoiles dans la figure 2) dont l’extrapolation à l’origine donne le rapport isotopique N(87Sr)/N(86Sr) à l’instant initial de formation (fermeture) de la roche.
Remarque : – La pente de la droite, exp(λt) – 1, augmente au cours du temps.
Elle est nulle à t = 0. Lorsque le temps s’écoule, la droite pivote
autour de l’ordonnée à l’origine. Si l’on choisit les mêmes unités en abscisse et en
ordonnée, les points représentatifs des différents échantillons décrivent des segments de
droite à 45°, car à chaque fois qu’un noyau de rubidium-87 se désintègre, il apparaît
un noyau de strontium-87 (voir figure 3). |
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8. Complément : une introduction de la fonction exponentielle retour Partie I : Existence d’une solution de l’équation f’= f vérifiant f(0) = 1. Théorème : L’équation différentielle f’ = f admet une solution prenant la valeur 1 en 0. La démonstration de ce théorème repose, pour x fixé,
sur la fabrication de deux suites adjacentes, l’une croissante, un(x), l’autre décroissante, vn(x), dont la limite
commune définit une fonction vérifiant l’équation différentielle. La suite un(x) apparaît
lors de l’application de la méthode d’Euler à f’ = f. Les démonstrations qui suivent font appel à la propriété
P suivante : pour tout réel x > –1 et tout entier naturel n, (1
+ x)n 1 + nx. Cette propriété P se démontre soit par récurrence,
soit en étudiant la fonction (1 + x)n – nx et en
montrant que ses valeurs sont toujours supérieures à 1.
On considérera des valeurs de n supérieures à . Pour tout x, la suite un (x) est croissante
: comme et , on obtient en reportant : Pour tout x, la suite (vn(x)) est décroissante
: 1/vn(x) = un(– x) ; la suite un(– x) étant croissante à
partir d’un certain rang, la suite vn(x) est décroissante.
On note exp la fonction qui à x fait correspondre la limite commune des suites un(x) et vn(x). On a exp(0) = 1. Il reste à étudier la dérivée de cette fonction ; pour cela, étudions la limite du rapport lorsque h tend vers 0, x étant fixé, et montrons qu’elle est égale à exp(x). L’idée est de faire apparaître exp(x) dans exp(x + h), et pour cela d’écrire : . On suppose et n + x > 1. En utilisant la propriété
P, on a , soit, en passant à la limite : Partie II : Quelques propriétés : Soit g une fonction vérifiant g’ = g et g(0) = 1. D’après le paragraphe précédent, il en existe au moins une. Propriété 1 : La fonction g ne s’annule pas. Soit F la fonction définie par F(x) = g(x)g(–x). Sa dérivée
est nulle en tout point, car Propriété 2 : Soient a et λ deux réels. Il existe une
solution et une seule de l’équation La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = ag(λx) satisfait
les deux propriétés. Supposons qu’il existe une autre fonction u qui les satisfasse également.
Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur R telle
que f (0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
Montrons que (i) implique (ii)
: soit u définie par u(x) = f (a + x) ; u vérifie u’ = λu et u(0)
= f (a). Soit h définie par h(x) = f(a)
f(x) ; h vérifie h’ = λh et h(0)
= f(a) ; d’après la propriété 2, les deux fonctions u et h sont
égales. Corollaire : Pour tout nombre réel x, g(x) > 0. On sait déjà que g ne s’annule pas. Le résultat découle alors de : g(x) = g(x/2 + x/2) =g(x/2)2. Une notation pour la fonction exponentielle (fonction exp). On montre par récurrence en utilisant la propriété 3 ci-dessus que pour tout nombre a et tout entier (positif ou négatif) n : exp(an) = (exp(a))n. On convient de noter e le nombre exp(1). On peut alors écrire exp(n) = en. La fonction exponentielle prolonge à R la fonction définie sur N par : et garde la propriété de transformer une somme en produit. On convient d’écrire, pour tout réel x : exp(x) = ex. On remarque que, la fonction étant strictement positive, sa dérivée est partout strictement positive, d’où e > 1. Une valeur approchée de e = lim(1 + 1/n)n est 2,7182818284590452353. |
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Quelques commentaires personnels : Le choix de la radioactivité : ce choix pluridisciplinaire
(on retrouve le thème dans le programme de SVT à propos
de la datation) est très intéressant mais pose un
problème de fond : peut-on expérimenter ? Dans tous
les programmes des disciplines scientifiques l'accent est mis de
plus en plus sur l'expérimentation, aussi on peut se demander
comment le prof lambda ou l'élève epsilon peuvent
réaliser la moindre expérience à ce propos
: le coût d'un tube au Césium avoisine les 4000 Euros...
Aussi retombe-t'on forcément sur de la culture livresque
et en grande partie hors de la capacité d'appropriation des
élèves. Les probabilités : le choix d'une loi exponentielle comme loi de probabilités continue (seul exemple au programme de TS avec la loi uniforme) résulte certainement d'un compromis gravissime ! En effet, la loi Normale est la loi de base des probabilités et des statistiques classiques et on la retrouve dans une foultitude de situations. Ceci est dû au Théorème central-limite et à la loi des grands nombres ; on peut penser que les concepteurs du programme ont été effrayés par les possibilités de dérive en termes de théorie et d'applications. Pourtant des expérimentations, numériques ou non, permettent d'en découvrir les rudiments sans se donner trop de mal, d'autant plus que la loi binomiale est au programme. La philosophie du programme de proba-stats est d'ailleurs (à mon sens) une absurdité du point de vue du mathématicien : on aborde les probabilités à partir des statistiques en approchant les lois de probabilité par des fréquences statistiques ou des histogrammes ; le travail du mathématicien reste encore et jusqu'à nouvel ordre un travail de conceptualisation sur une base d'éléments acquis empiriquement en essayant justement de se débarrasser des prérequis expérimentaux afin de réinvestir les méthodes dans des utilisations nettement plus performantes. Evidemment si on va par là on pourrait dire qu'il faut d'abord faire la théorie de la mesure, puis celle de l'intégration, appliquer aux probabilités et finir sur les statistiques ; ce programme n'aurait aucun sens au niveau du lycée, mais le réinvestissement des techniques d'intégration acquises en Analyse dans le calcul des probabilités continues suivi de l'utilisation des lois usuelles dans les situations statistiques peut donner un aperçu de l'unité des mathématiques et des outils qu'elles mettent à la disposition de tous. Pour faire une comparaison avec un autre thème important, on ne voit pas très bien comment se sortirait la dérivation de ce type de méthode... La philosophie sous-jacente à ce type de situations fait un peu penser à celle de Faust : il y a une difficulté conceptuelle (les lois continues) qui doit être surmontée d'une manière ou d'une autre : achetons au Diable (la méthode expérimentale) une méthode empirique en espérant qu'elle permettra d'accéder au Nirvana du concept, malheureusement la vente de son âme rend le futur mathématicien aveugle à tout ce qui n'est pas expérimental... il en conclut donc que mis à part l'expérimentation point de salut ! N'insistons pas sur les risques encourus avec ce genre de méthode. On peut penser que l'auteur de ces lignes n'a pas peur de la contradiction (d'un côté le manque expérimental avec la radioactivité, de l'autre le trop expérimental avec les probas...), mais il est clair que les deux situations sont bien différentes : dans un cas il s'agit d'un problème de physique où à la suite de diverses expériences on propose un modèle qui s'adaptera plus ou moins bien à la réalité, de l'autre il s'agit d'un problème de mathématiques où l'expérience doit laisser le pas le plus rapidement possible à la théorie qui seule permettra de construire les modèles nécessaires à la physique. Il est absolument impossible de découvrir les lois de probabilités à partir de la seule expérimentation, seule la maîtrise des principales notions le permet. Un simple exemple montrera que l'expérimentation n'est certainement pas une solution : les cours de bourse ont des comportements dont on cherche toujours les mathématiques sous- jacentes alors que les résultats expérimentaux sont légion... L'exponentielle : la présentation de exp
par la méthode décrite ici est fort intéressante
car elle met bien en valeur l'importance des suites dans l'Analyse
avec toutes les implications que cela comporte. L'ordre historique
d'apparition de exp comme réciproque de ln disparait au profit
de l'apparition de exp comme limite naturelle de fonctions
puissance, ce qui autorisera par la suite le développement
des fonctions en série, la continuité, etc. sous une
forme moins artificielle. Ceci dit la réalisation pratique
de cet objectif au niveau de la classe de TS risque d'être
difficile à mettre en oeuvre... Il est clair que pour boucler
le programme les démonstrations présentées
sont lourdes, peu attrayantes et longues à développer
; les points importants me semblent être la méthode
d'Euler comme présentation et l'apparition des puissances
: y'=y donne facilement y(nh)=(1 + h)ny(0)
d'où en posant h=x/n : .
Même avec des valeurs grossières de h on obtient
rapidement des courbes convergentes.
où le terme devient petit devant les autres termes (on peut utiliser la propriété P). Par passage à la limite on retrouve exp(x+y)=exp(x)exp(y). |