Construire une rampe d’accès
Le joueur de rugby
Une auge à cochons
On veut construire une rampe pour handicapés permettant de franchir une marche de hauteur 1 (par exemple 1 dm) ; les contraintes sont les suivantes : il ne doit pas y avoir d’angle vif et la pente doit être au maximum de 10% (et c’est déjà beaucoup…). La question est alors de savoir quelle est l’emprise au sol de la rampe (distance AB sur la figure).
fig-1 : essai avec des arcs de
cercle
Première possibilité : utiliser des arcs de cercle comme sur la figure ; le problème consiste alors à trouver l’angle formé par la tangente en U (I et J sont les milieux de [AB] et [BC]) en fonction de AB, et avec la condition sur la pente maximale d’en déduire AB. Ce travail est laissé aux bons soins du lecteur.
Deuxième possibilité, trouver une fonction du type
satisfaisant donc aux conditions :
avec l=AB. Je vous laisse chercher… et trouver que l doit faire au moins
,
donc pour une marche de 10 cm de haut, une rampe de 1,571 m de long.
Troisième possibilité : reprenser aux courbes de Bézier et au théorème de Weierstrass : nous voulons approcher une fonction inconnue f sur [0, 1] en prenant AB=1 et BC=1/l avec les conditions
;
aussi nous utilisons
;
avec ce dont on dispose, on a
,
qui ne marche pas… on a
;
posons alors x=1–x :
ce qui est plus satisfaisant. On obtient alors
et 
. Dérivons :
;
les conditions sur les tangentes sont respectées, il
reste à regarder le maximum de la dérivée, atteint pour
, la dérivée valant alors 
.Pour que la pente soit inférieure à 10%, il faut que l
soit supérieure à 15, soit dans le cas d’une marche de 10 cm, 150 cm, soit 1,5
m.
On peut refaire la même chose en cherchant directement une
fonction de degré 3 satisfaisant aux conditions précédentes, mais l’intérêt de
ce que nous venons de faire est que ça s’applique dans des situations plus
générales.
On peut se demander maintenant si la solution obtenue est la
meilleure en terme de distance AB… (je ne connais pas de réponse à cette
question).
Le joueur de rugby retour
Lorsque le buteur doit viser les poteaux, il a tout intérêt à
avoir un angle de tir maximal ; la question que doit se poser le joueur
est alors de savoir à quelle distance de la ligne de but cet angle est le plus
grand.
Posons x=OM la distance sur la ligne de but au
milieu des poteaux, la largeur des poteaux étant 2l ; y=BM,
et 
Nous avons alors
, 
;
avec la relation
nous obtenons :
d’où
Comme 
est croissante sur
,
étudier les variations de
ou de 
est identique
(lorsque 
est maximale, 
l’est également).
Pour un x fixé, nous cherchons donc pour quel y 
est maximum, nous étudions donc la fonction
;
sa dérivée est
qui s’annule donc lorsque
.
On peut évidemment trouver les valeurs de y cherchées (une de chaque côté de la ligne de but), mais il y a plus intéressant dans la mesure où les points B(x, y) pour lesquels l’angle est maximal est une hyperbole équilatére d’équation
.
Une auge à cochons retour
On veut construire une auge en pliant une feuille de tôle sous la forme d’un cylindre. Nous disposons de la largeur de la tôle et nous désirons savoir quel arc de cercle prendre de sorte que le volume de l’auge soit le plus grand possible.
Il nous faut donc trouver l’arc de cercle donnant l’aire
maximale. Appelons x l’angle 
(
), l’aire de la portion de « camembert » est
où R est le
rayon du cercle ; or on a la longueur de l’arc 
: l, mais également xR d’où
,
par conséquent cette aire vaut
.
L’aire cherchée est l’aire de la portion de camembert moins l’aire du triangle AOB qui vaut
et finalement l’aire cherchée est
.
Remarquons de suite que si x tend vers 0, cette aire doit également tendre vers 0, ce que l’on obtient avec
fig-2 : représentation de 
Cherchons la dérivée :
.
La dérivée d’annule en
, il nous reste à vérifier que
ne s’annule pas.
fig-3 : représentation de 
Dérivons g :
,
donc g est croissante, g(0)=0 et
, 
, 
.
Conclusion la seule solution possible est
et l’aire maximale
est alors celle d’un demi-cercle :
.
Le volume quand à lui est
;
remarquons alors que si l’on plie la tôle dans le sens de la longueur, le volume maximum sera
,
donc plus grand que précédemment. Par contre il n’est pas sûr que les bêtes puissent alors aller boire…