Nous ne citerons pas les conjectures sur l’infinité de tel ou tel type de nombre car elles sont légion (comme celle sur les nombres de Fermat qui semblent n’être que 5).

Une conjecture d’Erdös

pour tout entier n, il existe x, y, z entiers tels que

.

c’est un cas particulier du problème des fractions égyptiennes, où l’on cherche à écrire un rationnel comme somme d’un nombre donné d’inverses d’entiers ; conjecture vérifiée pour

Conjecture de Goldbach

un ami d’Euler, Christian Goldbach, a proposé en 1742 la conjecture que tout entier pair est somme de deux nombres premiers et tout entier impair somme de trois nombres premiers. Aucune de ces deux conjectures n’est encore complètement démontrée, mais Vinogradov a pu établir en 1937 que tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers.

Nombres premiers jumeaux 

deux nombres premiers dont la différence est 2.

Le nombre de premiers jumeaux inférieurs à x est asymptotiquement

Vigo Brun a montré que la série des inverses des premiers jumeaux est convergente vers un nombre appelé constante de Brun :  ; on peut montrer que

.

A part ça on ne sait quasiment rien sur les différences entre deux nombres premiers.

Une conjecture de Joseph Bertrand disait ainsi qu’entre n et 2n il y a toujours au moins un nombre premier, démonstration par Tchebychev ; par contre la question de savoir s’il y a toujours un nombre premier entre n et (n+1)² n’est pas résolue. De même on a la conjecture de Polignac (1849) : tout nombre pair est la différence de deux premiers jumeaux.

Nombres parfaits

nombres égaux à la somme de leurs diviseurs autres que eux-mêmes comme 6 ou 28, Euclide montre que si 2^p–1 et p sont premiers alors 2^p–1(2^p–1) est parfait. Euler montra la réciproque : un nombre parfait pair est de la forme 2^p–1(2^p–1).

Prenons un nombre quelconque constitué de r facteurs premiers à des puissances diverses :

 ;

pour avoir un diviseur de n on peut choisir une puissance de p₁ de  manières (+1 pour la puissance 0), une puissance de p₂ de  manières … donc au final on a

 diviseurs possibles. La somme des diviseurs est alors

puisque si on développe le membre de gauche on aura tous les produits possibles sans aucune répétition de tous les termes primaires de n. Remarquons que si pgcd(m, n)=1 alors

 et

ceci est facile à voir du fait que m et n n’ont aucun facteur commun autre que 1. Les fonctions  et  sont des fonctions multiplicatives. Montrer qu’un nombre P est parfait revient donc à montrer que

.

Revenons aux nombres parfaits en prenant n=2^p – 1 premier ainsi que p :

la somme des diviseurs de 2^p – 1 est la somme des termes 2ⁱ  et la somme des diviseurs de

2^p –1  est 1+(2^p – 1)=2^p . En enlevant n, on a bien un nombre parfait.

Réciproquement prenons un nombre parfait pair P, de la forme q2^n–1  avec q impair et n>1 ; 2^n–1   et q sont premiers entre eux donc

,

mais comme P est parfait, on doit avoir

.

2ⁿ– 1 est impair donc divise q, soit q=(2ⁿ– 1)r  ou encore q+r=2ⁿ– 1 qui est inférieur ou égal à  .

On a donc

 ;

l’inégalité du début est donc une égalité et =q+r, par conséquent q et r sont les seuls diviseurs de q ; conclusion r=1, q est premier, vaut 2ⁿ– 1 et P=2^n–1(2ⁿ– 1) avec n et 2ⁿ–1 premiers (en fait si 2ⁿ–1 est premier, n l’est aussi mais la réciproque est fausse…trouvez un contre-exemple).

Ceci amène à plusieurs questions :

y-a-t’il des nombres parfaits impairs ? on n’en connaît aucun alors qu’il n’y a à priori aucune raison qu’il n’y en ait pas… la conjecture est donc : « il n’y a pas de nombre parfait impair » !

quels sont les nombres de la forme 2ⁿ– 1 premiers ? ce sont les nombres de Mersenne dont on a conjecturé qu’ils étaient une infinité et font l’objet d’actives recherches car ils permettent de produire les très grands nombres premiers indispensables en cryptographie. Edouard Lucas a trouvé le test suivant permettant de vérifier si on a un nombre de Mersenne premier : on prend la suite définie par

 avec

(on peut changer la valuer initiale), alors 2^p–1 est premier si et seulement si

.

Pour la démonstration et d’autres choses sympathiques, voir

http://algo.inria.fr/bauderier/Recipro/recipro.html .

Attention, les nombres de Mersenne ne sont pas tous premiers !

Conjecture de Waring

Euler avait fait la conjecture à la suite de Fermat que tout entier pouvait se décomposer comme somme de plusieurs carrés ; Laplace a montré que tout entier s’écrit au maximum comme somme de quatre carrés ou au maximum comme somme de neuf cubes. Waring en 1792 a conjecturé que tout entier peut s’écrire sous la forme

où N(m) est le nombre maximum de termes (on a N(2)=4, N(3)=9).

Hilbert a démontré la conjecture en 1909 ce qui est déjà pas mal, malheureusement cette démonstration ne donne pas N(m). Hardy, Littlewood et Vinogradov en utilisant des méthodes d’analyse complexe très fines ont obtenu des estimations de N(m), mais également du nombre de solutions !

Toujours est-il que l’on ne connaît que peu de valeurs de N(m) : en 1964 Davenport a trouvé N(4)=19 et en 1986 on a trouvé N(5)=37. N(6) était déjà connu et vaut 73. On en connaît ainsi quelques uns, mais quand même peu…

Tiens, je vais faire une conjecture :

… !