Vibrations des poutres
Joseph Boussinesq (1842 - 1929) fut un des grands contributeurs à la théorie de l’élasticité ainsi qu’à l’hydrodynamique. La plupart des résultats de ce texte lui sont dus. Curieusement peu de textes lui sont consacrés sur internet : pour une biographie succinte voir sur le site de l’Ambassade de France au Canada !!! Quelques archives sont disponibles dans les annales de Normale Sup.
Ce texte est la suite de poutres.
Sommaire
2. Vibrations libres d’une poutre de longueur infinie
3. Vibrations d’une poutre semi-infinie sous contrainte
4. Vibrations d’une poutre de longueur finie
On considère toujours une poutre horizontale homogène en
équilibre dont la direction est l’axe des x. La déformation verticale à
chaque point x et à chaque instant t est due au poids et à la
charge de la poutre, P(x, t) de sorte que où E est le module d’élasticité de
Young et I le moment d’inertie de la section de poutre au point
considéré. Dans la première partie nous n’avons regardé que des cas statiques
où t n’est pas pris en compte ; pour faire intervenir le
mouvement on utilise le principe de d’Alembert assurant que tout problème
dynamique peut être rapporté à un problème statique par l’utilisation de forces
d’inertie appropriées. Dans notre cas les forces d’inertie seront de la forme
où
est la densité de la poutre et S la
surface de la section de poutre à l’abscisse x. L’équation du mouvement
est alors
.
Posons alors ,
l’équation précédente devient
|
(1) |
|
|
Enfin rappelons l’équation générale (E) de la première partie qui donne le moment de flexion
|
(2) |
|
|
Considérons que le mouvement est produit par une flexion de
la poutre et que chaque point est animé d’une vitesse transversale
connue : on a à t = 0 y = f(x) qui
donne la forme de la poutre et où g est également connue.
Puisque les vibrations sont libres (aucunes forces n’opèrent
sur la poutre autres que les conditions initiales) on a P(x, t) = 0 ;
l’équation (1) est alors que nous multiplions par
et intégrons de
à
(on cherche la transformée de Fourier (TF) de
(1)).
|
(3) |
|
|
Posons ;
comme
d’après les propriétés de la TF on obtient
alors par dérivations successives
.
(3) devient donc
|
(4) |
|
|
Les conditions initiales donnent où F est la TF de f et
où G est la TF de g.
Y est donc solution d’une équation classique et prend
la forme ;
à t = 0 ,
et
.
Finalement
.
Il nous « reste » à retourner à y avec la TF inverse :
(5) .
Il nous reste en fait à trouver les TF de et
ce qui permettra par simple convolution de
réintroduire f et g : on rappelle que si deux fonctions p
et q ont pour TF P et Q alors la TF de PQ est
:
La calcul de ces deux TF fait penser à celui bien connu de :
on a
,
soit en posant :
.
d’où
et
.
(6) .
,
,
et
.
et en posant :
.
Mais on a et
d’où
et
d’où en remplaçant :
.
Ce résultat peut par exemple
modéliser le comportement d’un pont de grande longueur soumis à des mouvements
verticaux aléatoires d’amplitude moyenne et d’écart-type 2r.
,
à x = 0, t > 0
y =
0, à t = 0,
.
Les forces représentées par P
restent nulles et l’équation de la TF du mouvement est toujours l’équation (3)
avec quelques modifications : la borne inférieure devient 0, par ailleurs
comme pour la TF F d’une fonction f on a à condition que
,
ce qui est le cas ici. On a donc
,
(7) .
soit en posant
,
.
Les conditions initiales nous
donnent .
Le problème plus général rencontré
ici est de résoudre sous les conditions initiales y(0)=0 et y’(0)=0
l’équation :
en utilisant la transformée de Laplace on obtient la solution générale
.
.
(8) .
,
;
,
remplaçons a par et réinjectons dans (8) :
4-a : Equation et résolution
Soit L la longueur de la
poutre, les conditions initiales sont ainsi que
(la poutre repose librement à ses deux
extrémités). L’équation (3) reste valable avec quelques modifications :
les bornes de l’intégrale d’espace sont évidemment 0 et L et nous utilisons la
TF sous sa forme finie, soit la série de Fourier de y :
.
.
.
Notons et
les valeurs Y(n, 0) et
,
alors en suivant la même démarche que dans le paragraphe précédent :
(9)
.
4-b : Vibrations libres
Comme dans les deux cas précédents on a P(x, t)
= 0 de même que pour .
On prend
et
,
d’où
et
.
On injecte tout ça dans (9), etc.
Prenons par exemple une poutre droite à t = 0 et
frappons la violemment en un point d’abscisse (
), ce qui se traduit par
f(x)=0
et
( est la fonction de Dirac dont on sait que
)
on a donc et
et enfin
.
4-c : Vibrations forcées
On applique une force variable en un point
,
de sorte que
et
;
la même méthode que précédemment donne alors
.
De manière peut-être un peu plus réaliste la force appliquée se déplace le long de la poutre avec une vitesse constante v : on a alors
d’où
.
Le résultat est identique au cas précédent mais allons un
peu plus loin en prenant une force constante :
on a
d’où on tire évidemment l’expression de y (que se
passe-t-il lorsque ?…)
Sources :
Internet
http://www.enpc.fr/fr/formations/ecole_virt/cours/pecker/chapitre1.pdf
(remplacer le 1 de chapitre par 2, 3,…, 8, les poutres sont entre autres dans le ch. 3).
problème du flambage pour une poutre verticale : quelques sites internet en parlent mais pas toujours très clairs, voir quand même
http://www.ulb.ac.be/smc/cours/cnst338/15-instabilites.PDF
http://perso.wanadoo.fr/philippe.fichou/Poutre/poutre.htm
Livres
P. Fleury, J.-P. Mathieu, Physique générale et expérimentale, Eyrolles, 1961.
F. Ayres Jr, Théorie et applications des équations différentielles, série Schaum, McGrawHill, 1986.
Ian N. Sneddon, Fourier transforms, Dover inc., 1995