p 229 : premier problème en note

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Rappelons la question : nous sommes dans la définition des coniques comme lieu des centres M de cercles tangents à un cercle donné et passant par un point F. La tangente en N au cercle principal, (T), coupe-t-elle la tangente (m) en M à l’ellipse qui est la médiatrice de [FN] (ce que nous prouverons au passage) sur la directrice (d) ?

Comme on le voit sur la figure la réponse est positive et on doit certainement pouvoir utiliser le théorème de Desargues pour le prouver. Nous allons procéder analytiquement en prenant comme cercle principal le cercle trigonométrique et le point F en (u ; 0). Le point N a pour coordonnées N(cost ; sint).

1. Equations des droites

(T) a pour vecteur directeur

 

et passe par N,

.

(m) passe par I, milieu de [FN], de coordonnées

et a pour vecteur normal , on fait le produit scalaire :

,

soit

 

(on note p le terme

 

car on va le retrouver).

(ON) : .

2. Intersection P de (m) et (T)

On résout

 

ce qui donne

.

L’abscisse de P est constante, ce point se déplace sur une droite verticale, il nous reste à prouver que cette droite est bien une des directrices. Mais auparavant il nous faut l’équation de l’ellipse.

3. Coordonnées de M, intersection de (m) et de (ON)

On résout

 ,

ce qui donne

 ;

si on pose (1) 

:,

on a

 

et (1) est l’équation polaire d’une conique (E) de paramètre p et d’excentricité u (ou −u, suivant le signe ; ce résultat est quand même assez satisfaisant…).

On obtient alors le vecteur directeur de la tangente à (E) en M est alors

 

d’où avec

,

,

colinéaire au vecteur directeur de (m). La tangente en M est donc bien la médiatrice de [FN].

4. Caractéristiques de (E)

Les paramètres de l’ellipse sont donc p et e = u. Dans la définition par foyer et directrice on a vu que l’équation est

 

soit (les calculs intermédiaires étant laissés au lecteur) :

.

On récupère ainsi les coordonnées du centre de l’ellipse : , ce qui montre que O est l’autre foyer, et donne la valeur de c : u/2. On a également

 et .

Dans un repère où O est le centre de l’ellipse les directrices ont pour équation

 ;

comme le centre ici est  il faut ajouter u/2, soit

 

et on retrouve bien le résultat du 1.

Il reste à montrer que la tangente (m) est la bissectrice extérieure de , mais vous vous ferez certainement une joie de le faire par vous-même…