On se donne un triangle isocèle ADB où l’angle en D vaut 20° ; on trace BE (E sur DA) et AC (C sur DB) tels que l’angle BAC=50° et l’angle ABE=60°. Combien vaut l’angle BEC ?

Première méthode pour se fixer les idées : faire la figure exacte, prendre un rapporteur ou Chamois et donner la valeur de l’angle. Ca marche très bien !

Deuxième méthode : comme on a utilisé la première méthode on sait ce que l’on doit trouver et on utilise la trigonométrie de base (on notera les angles comme suit <ADB =20°) :

fig- 1 : Triangle à problèmes - 1

Posons AB=1 et notons  l’angle cherché, nous avons <CAB=50°, <CBA=60°, … et nous utilisons la relation bien connue

dans les triangles. Dans ECB :

,

d’autre part avec la relation de Pythagore généralisée :

dans tout triangle, nous avons

.

On a alors

d’où finalement

.

Divisons tout par cos  :

d’où =30°.

Une troisième méthode utilise le théorème de l’angle inscrit de manière superbe : on prend le polygone régulier à 18 côtés de centre D et dont deux sommets sont A et B.

fig- 2 : Triangle à problèmes – 2.

L’angle <ADB vaut 20°, double de tous les angles <p_i, AB)=10°, la droite Dp₁₂ est la médiatrice de p₁₅p₃, les droites p₁₅p₃  et Ap₇ sont symétriques par rapport à DB, elles sont donc sécantes en C sur DB. L’angle <ADp₇ vaut 120°, donc <DAp₇=<Dp₇A=30° ; la corde p₁₅p₁₂ est le côté d’un hexagone inscrit, elle est égale au rayon , donc p₁₅p₃ est la médiatrice de Dp₁₈.

 Soit E l’intersection de DA et p₁₅p₃, nous avons immédiatement DE=Dp₁₈=EB par symétrie et le triangle EDB est isocèle, d’où <EDB=<EBD=20° ; comme p₁₅p₃ est perpendiculaire à Dp₁₂, on a <p₁₈ED=140° et <p₁₈Ep₁₅=70°=<p₁₅ED=<AEC.

Conclusion de l’histoire : <EAB=40° et <AEC=70° d’où <BEC=30°.

Placer 20 points à l’intérieur d’un cercle de rayon 2 de sorte que tous les points soient à une distance supérieure à 1 les uns des autres. C’est un problème de Pavel Erdös.

Une petite figure pour commencer :

Il est facile de placer les 19 points comme on le voit sur cette très jolie figure.

Pour 20 ça se corse nettement… j’ai vu une fois une démonstration quelque part mais je ne sais plus où, alors si quelqu’un la connaît je la mettrais avec plaisir sur le site…

Voilà un problème qui avait été donné au Kangourou il y a quelques années. Je vous le donne tel quel (je connais les solutions, mais je ne les donnerai pas comme ça…)

On a planté un arbre en A et un arbre en B ; le problème est de placer quatre autres arbres aux intersections du quadrillage de sorte que les distances entre les arbres soient toutes différentes.