Retrouver les lois de Kepler à partir de Newton

 voir également produit vectoriel

 

Prenez le livre pour suivre…

L’équation de la trajectoire d’un corps de masse m2 dans la mécanique newtonienne est donnée par

avec

où le pôle est l’autre objet soumis à l’attraction.

 

 

K est le paramètre de l’ellipse, e son excentricité,  représente l’angle  et  l’angle  ; a est le demi grand-axe de l’ellipse et b le demi petit-axe.  est le centre.

On a

, , .

O est un foyer de l’ellipse et la distance focale

 et .

Dans le repère  l’équation de l’ellipse est

soit

d’où

avec

.

L’énergie mécanique de A est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle ; le potentiel newtonien est de la forme

,

mais ici la force étant attractive on a une énergie potentielle négative ; quand la particule A entre dans la zone d’attraction avec une vitesse v0  et à une distance r0 de O, l’énergie mécanique est alors

.

Si on reprend les formules de Binet où on avait posé

,

on a

d’où

 ;

 or nous avions obtenu dans la résolution du problème que la vitesse avait pour composantes en polaire

 ;

 l’énergie de A est alors

et il reste à remplacer chaque terme par son expression. Après simplification on obtient alors

or

,

 ce qui donne finalement

,

d’où également

 qui ne dépend donc que du grand axe de l’ellipse.

 

 

La vitesse aréolaire du point A est la vitesse à laquelle il parcourt une aire S de l’ellipse :

 dont nous avons vu que c’était une constante B. Nous avons donc la 1ère loi de Kepler : les rayons vecteurs balaient des aires égales en des temps égaux.

Le temps mis pour faire une ellipse complète est alors

 or

et

 d’où

 ;

 on retrouve bien la dernière loi de Kepler :

.

Par exemple on sait que la période de révolution de Jupiter est de 12 ans environ, on connaît la distance Terre-Soleil, soit a=140.106 km, on a alors

d’où

.