3. Suites et Séries

2. Les clients et la banque.
Pouvez vous emprunter de l'argent sans risque à votre banquier?

3. La banque et les clients.
Pourquoi la Banque de France ne fut créée que sous Napoléon.

4. Fibonacci et ses lapins.
Les suites récurrentes se retrouvent dans beaucoup de domaines.
           4-a : Offre, demande, prix d’équilibre.
           4-b : Convergences
           4-c : Méthode de Newton pour résoudre des équations.

5. De Newton à Weierstrass en passant par Cauchy : les séries.
Les sommes de termes d'une suite sont vraiment fondamentales. Il y a même la convergence uniforme.

6. Nombres de Bernoulli et polynômes du même nom.
Les calculs ne sont pas très drôles, mais les nombres de Bernoulli sont vraiment bizarres.

7. Les suites de Michel Mendès-France.
Spectaculaire et passionnant.

8. Syracuse.
Un problème qui semble simple et pourtant...

4. Algèbre

1. Résolution de l’équation du 2e degré.
Une résolution classique avec des cercles et des droites.

2. Résolution de l’équation du 3e degré.
Insoluble à la règle et au compas, il a bien fallu trouver des formules, quoique...
           2-a : Résolution de « Cardan » 
           2-b : Trisection de l’angle
           2-c : Une résolution géométrique par Descartes.

3. Résolution de l’équation du 4e degré.
Même problème que pour le degré 3, heureusement qu'on n'a pas trouvé de formule pour les degrés supérieurs!
           3-a : Résolvons.
           3-b : Un petit problème de niveau 4.

4. Les complexes.
Comme on rencontre des complexes dans tous les coins du livre ce paragraphe n'est pas détaillé : on reprend la présentation de Cauchy assez fructueuse.

5. Le théorème fondamental de l’algèbre.
Un polynôme de degré n a n racines réelles ou complexes. La première vraie démonstration par K.F.Gauss.
           5-a : Une démonstration.
           5-b : Polygone régulier à 17 côtés.

6. Un peu d’économie.
Une application de l'algèbre en Econométrie ou comment prendre la place d'un autre...

7. Notion de groupe.
Les premières idées sur les groupes de permutations.

8. Groupes de transformations.
Comment l'Algèbre s'utilise en Géométrie avec les applications à la cristallographie.
           8-a : Le groupe linéaire 
           8-b : Les symétries en Physique.

9. Quaternions.
Le seul corps de nombres de dimension finie autre que R et C, mais il n'est pas commutatif.

5. Fonctions

1. Ce qu’il faut savoir.
Il faut bien faire un peu de cours de temps en temps.

2. Limites, continuité, infini.
Les problèmes liés à l'infini ne sont pas forcément simples.

3. L’analyse non standard.
Une autre manière de voir le calcul différentiel.

4. Un concept laborieusement construit.
Newton et Leibniz, coinventeurs du Calcul Différentiel.
           4-a : La cycloïde.
           4-b : Découvertes.

5. Un peu de cours.
Plusieurs applications concrètes de l'emploi des fonctions et des dérivées.
           5-a : Fonctions non dérivables
           5-b : Volume d’une boîte de conserve
           5-c : Embouteillages
           5-d : Loi de la réfraction de Descartes

6. Calcul des dérivées
Ce n'est pas drôle de lire du cours, mais certaines choses méritent d'être dites.
           6-a : Formules 
           6-b : Primitives 
           6-c : Dérivées partielles et gradient.

7. Les théorèmes fondamentaux.
Accroissements finis, Formule de Taylor...

8. Polynômes et Interpolation.
Ce que tout bon scientifique devrait savoir dans ce domaine qui est très vaste et fut au coeur du développement de l'analyse moderne.
           8-a : Formule du binôme.
           8-b : Interpolation de Lagrange.
           8-c : Interpolation de Newton.
           8-d : Courbes de Bézier.
           8-e : B-Splines.

9. Quelques applications des fonctions en Economie.
Les fonctions sont à l'économiste ce qu'est le tracteur à l'agriculteur...

10. Enveloppe, courbure, développée.
Les fonctions et la géométrie.

 6. Intégrales

1. Ce qu’il faut savoir.
Encore du cours...
           1-a : Intégrale de Leibniz.
           1-b : Intégrale de Riemann.
           1-c : Propriétés.
           1-d : Centre de gravité.
           1-e : Quelques résultats intéressants.
           1-f : Techniques d’intégration.

2. Calcul numérique.
On ne sait que rarement calculer les intégrales directement.

3. Une fonction très importante.
On retrouve la fonction ainsi que son intégrale dans de nombreux domaines. On prolonge les idées du calcul différentiel au champ complexe.
           3-a : Intégration de la fonction de Gauss.
           3-b : Dérivation et intégration de quelques fonctions complexes.

4. Applications physiques.
Il y a de quoi faire... Quelques applications classiques de l'intégration (en fait ce sont souvent des équations différentielles plus ou moins dissimulées).
           4-a : L’isochrone de Leibniz.
           4-b : La tractrice.
           4-c : La caténaire.
           4-d : La brachystochrone.
           4-e : Calcul du champ magnétique.

5. Diffraction.
Deux applications fondamentales de l'intégration.
           5-a : Fresnel.
           5-b : Fraunhofer.

6. Courbe de Lorenz et coefficient de Gini.
Ceci peut déboucher sur une recherche plus approfondie.

 7. Fonctions Transcendantes

1. Séries entières et séries de Taylor.
Un peu de cours ne peut pas vraiment faire de mal...
           1-a : Généralités.
           1-b : Série de Riemann.
           1-c : Suites de Dirac.
           1-d : Intégrales de Wallis.
           1-e : Séries de Taylor
           1-f : Binôme de Newton.

2. Formule d’Euler - MacLaurin.
Une formule très pratique pour démontrer des résultats de fond.
           2-a : La formule.
           2-b : Formule de Stirling.

4. Les fonctions logarithmes
Même si elles sont apparues plus tard les fonctions logarithmes furent un des outils fondamentaux du développement de l'Analyse.
           4-a : Aperçu historique.
           4-b : Ce qu’il faut savoir.
           4-c : PH d’une solution (potentiel hydrogène).
           4-d : Distance d’une étoile.
           4-e : Loi de Verdoorn.
           4-f : Calcul des logarithmes.
           4-g : Interprétation graphique.
           4-h : Tables de logarithmes.

5. Les fonctions exponentielles.
Peut-être encore plus utiles que les précédentes. Elles sont partout !
           5-a : Ce qu’il faut savoir.
           5-b : Quadrature de l’hyperbole et équation différentielle.
           5-c : Taux d’intérêt mathématique.
           5-d : Croissances exponentielles.

6. Trigonométrie hyperbolique.
Indispensable à qui veut comprendre la théorie de la relativité. Ce sont les soeurs jumelles de cos, sin,...
           6-a : Quadrature de l’hyperbole
           6-b : Calcul de s, c, t.
           6-c : Développement de cosh, sinh, tanh.
           6-d : Lois du rayonnement stellaire.

7. Un peu d’analyse complexe.
                      Pour clore ce chapitre en allant un peu plus loin (pas trop quand même...).

8. Géométrie

1. Eratosthène.
La mesure du rayon terrestre.

2. Aristarque.
La Terre n'est pas au centre du monde.

3. Apollonius.
Ca devait être agréable d'être scientifique à Alexandrie il y a 2300 ans.

4. Coniques.
Difficile de faire de la géométrie sans tomber dessus.
           4-a : Définition analytique.
           4-b : Quelques propriétés géométriques.
           4-c : Aire de l’ellipse.
           4-d : Coniques dans l’espace.
           4-e : Les sphères de Dandelin.
           4-f : Problème d’Appolonius.

5. Hipparque.
Les problèmes de la géométrie sur la sphère ne datent pas d'hier.
           5-a : Projection stéréographique
           5-b : Loxodromie.

6. Courbes.
Quelques courbes très utiles et très utilisées.

7. Solides et volumes.
Un paragraphe succint mais utile.
           7-a : Calcul
           7-b : Polyèdres

8. Optique.
Quelques thèmes de l'optique géométrique.
           8-a : Construction de Huygens.
           8-b : Equerre optique.
           8-c : Fibre optique.
           8-d : Un petit mirage.

9. En avant vers la géométrie projective.
Une présentation historique.
           9-a : Pour commencer
           9-b : Birapport 
           9-c : Division harmonique 

10. Transformations et birapport.
Les invariants sont finalement les objets les plus importants des mathématiques. 

11. Deux théorèmes.
Présenté comme ça ce n'est pas si compliqué, même s'il faut réfléchir.
           3-a : Desargues.
           3-b : Pappus.

12. Retour à l’optique.
L'approximation de Gauss en optique fait intervenir de nombreuses notions: géométrie, analyse, algèbre.

9. Equations différentielles

1. Aperçu sur les équations différentielles.
Introduction succinte...

2. Petite histoire des équations différentielles.
 Comment procédait Newton.

3. Ce qu’il est bon de savoir …
                      Toujours pareil, il faut bien faire un peu de cours !
           3-a : Conditions.
           3-b : Solution particulière.
           3-c : Champ des tangentes.
           3-d : Méthodes de calcul approché.
           3-e : Résolution par variation de la constante.
           3-f : Résolution par séparation des variables.
           3-g : Equations linéaires du premier ordre à coefficients
                      constants sans second membre.
           3-h : Equations linéaires du second ordre à coefficients
                      constants sans second membre.
           3-i : Avec second membre.
           3-j : Résolution par les séries.

4. Circuit RLC.
L'électricité aime bien les équations différentielles.

5. Attraction, attraction…
La gravitation également. On regarde ce qui se passe avec deux corps puis on commence à aborder le problème à trois corps.

6. Pendule.
Une autre application mécanique.

7. Roues et routes.
Pour se changer les idées.

8. Mon chien me court après.
 Courbes de poursuite ou comment descendre un avion avec un missile.

9. La rumeur.
 Un modèle pour la propagation des maladies contagieuses ?

10. Exemple de réaction chimique oscillante.
On en a découvert plein depuis Belousov-Zhabotinsky.

11. Développement d’une population en milieu fermé.
Tous les biologistes devraient connaître ce modèle. Les économistes également, et les chimistes aussi...

12. Le modèle du ver du bourgeon de l’épinette.
 On prolonge le thème précédent.

13. Systèmes Lotka-Volterra.
Pour finir en beauté...

10. Fractales et Chaos

1. Courbe de Von Koch et fractales géométriques.
Les problèmes de la dérivabilité ont amené à des créations carrément louches. Les fractales géométriques, construites par itération d'une même figure sont faciles à construire.

3. Chaos : introduction
Le chaos fait apparaître des fractales, mais c'est un sujet encore plus vaste...

4. Agrégats
Un phénomène lié au mouvement brownien et que l'on retrouve dans beaucoup de phénomènes. Mérite une attention autre que superficielle.

5. Percolation.
Là encore on retrouve des phénomènes extrèmement courants et complexes. Ceci n'est qu'une simple approche.

6. Loi de Verhulst et arbre de Feigenbaum.
Une première approche de phénomènes chaotiques.

7. La transformation du boulanger.
Une transformation purement déterministe donne une impression de chaos !

8. Attracteurs : Lorenz, Hénon.
Les célèbres attracteurs étranges.

9. Sensibilité aux conditions initiales.
Pour aller un peu plus loin.

10. Ensembles de Julia, ensemble de Mandelbrot.
Retour sur quelques fractales bien connues.

 11. Transformée de Fourier

1. Aperçu historique.
Comme d'habitude.

2. Séries de Fourier.
Toujours un peu de cours.

3. Phénomène de Gibbs.
Un truc pas banal qui a déclenché une série de questions fondamentales.

4. Le rond et le carré.
Une application archi-classique.

5. Séries de Fourier des polynômes de Bernoulli.
Des résultats sur la fonction zêta de Riemann avec des questions en suspens depuis 300 ans !

6. Transformée de Fourier.
Les complexes sont vraiment très très utiles dans tout ça !

7. Utilisations
 Quelques calculs ainsi que des applications très utiles.
           7-a : Transformée de Fourier de la fonction de Laplace-Gauss.
           7-b : Transformée de Fourier de la fonction de Cauchy.
           7-c : Transformée de Fourier de la fonction de Dirac.
           7-d : Théorème d’échantillonnage de Shannon
           7-e : Transformée de Fourier rapide
           7-f : Ondelettes

8. L’équation de la chaleur
Le problème historique d'apparition des séries de Fourier ; on obtient des choses superbes.
           8-a : Equation de la chaleur dans une barre
           8-b : Résolution par la méthode des différences finies
           8-c : Propagation de la chaleur dans une barre infinie.

 12. Probabilités

1. Aperçu historique.
Vous commencez à avoir l'habitude.

2. Probabilités discrètes.
Les prolégomènes à ce paragraphe sont assez courts, les probabilités de base étant en général assez bien traitées dans les manuels. On s'intéresse ensuite à quelques problèmes anciens puis aux définitions et méthodes de base .
           2-a : Définitions.
           2-b : Quelques problèmes classiques.
           2-c : Probabilités conditionnelles.
           2-d : Formule de Bayes.

3. Variable aléatoire.
La notion fondamentale des probabilités: c'est comme une fonction...

4. Moyenne - Espérance mathématique.
L'intégrale de la fonction précédente.

5. Fonction caractéristique.
Pourquoi faire simple ? Mais c'est vraiment utile.

6. Paramètres de dispersion.
Quadratique ? Qués acco?

7. La méthode de Monte-Carlo.
C'est peut-être drôle comme nom, mais c'est très utile quand on n'a rien d'autre.

8. Variables indépendantes.
Et encore une notion fondamentale, une !

9. Somme de deux variables aléatoires indépendantes.
On va pouvoir faire des opérations sur les variables aléatoires, c'est quand même plus pratique.

10. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - lois des grands nombres.
 Quand vous jouez au Loto, il vaut mieux savoir ce qu'est la Loi des grands nombres.

11. Lois discrètes.
On commence à utiliser la plupart des notions précédentes.
           11-a : Loi géométrique.
            Une des lois les plus simples.
           11-b : Loi hypergométrique.
            Un peu moins simple que la précédente, mais permet             d'aborder la question de l'estimation.
           11-c : Loi binomiale.
            Il suffit de répéter la même chose un certain nombre de fois.
           11-d : Loi de Poisson.
           Très très utile.
           11-e : Loi du khi-deux et loi poly(multi)nomiale.
            Vous faites de la biologie ou de la physique ou de l'économie             et vous ne connaissez pas le khi-deux ? C'est très grave !

12. Lois continues.
C'est comme pour les lois discrètes, mais la v.a. peut prendre une infinité de valeurs sur R.
           12-a : Loi Uniforme.
            La plus simple.
           12-b : Loi de Cauchy.
            Il y en a qui croient qu'elle ne sert à rien, mais c'est une             erreur.
           12-c : Loi Normale ou Loi de Laplace-Gauss.
            La plus importante des lois de base.
           12-d : Surbooking.
            Une petite application de la loi normale.
           12-e : Théorème central limite.
            Une grosse application de la loi normale.
           12-f : Chercher l’erreur.
            Tout bon scientifique sait qu'il se trompe !
           12-g : Mouvement brownien.
            Y'a des fois les physiciens osent des choses pas croyables !
           12-h : Lois issues de la loi Normale et loi du khi-deux.
            On en a déjà parlé, ça continue pareil.
           12-i : Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés.
            Une bonne méthode d'ajustement.

14. Tests d’hypothèse
Une fois que l'on a des estimateurs des paramètres, il faut voir s'ils collent avec la réalité, ce qui n'est pas une mince affaire.
            14-a : Quelques idées
            14-b : Un peu de théorie
            14-c : Comparer des paramètres
            14-d : Quelques remarques

15. Comment avoir un Prix Nobel et gagner beaucoup d’argent
C'est juste pour la culture générale.

16. Conclusion
Je n'en dirai pas plus.

13. Relativité et Mécanique Quantique

1. La Relativité Restreinte
A la suite des travaux de Maxwell, Lorentz et Poincaré on s'est demandé ce qui arrivait aux équations de Maxwell dans un repère en mouvement uniforme par rapport à un autre repère. La réponse fut alors qu'il fallait modifier profondément nos conceptions de l'espace et du temps.
           1-a : Transformations
           1-b : Expérience de Michelson-Morley
           1-c : Temps
           1-d : Géométrie (1)

2. La Relativité Généralisée
La relativité restreinte ne répondait pas à toutes les questions et Einstein, assisté de Hilbert et Emmy Noether réussit à mettre en forme ce qui se passait dans un repère en mouvement accéléré par rapport à un autre repère. C'est actuellement le seul modèle à peu près acceptable de représentation de notre Univers.
           2-a : Masses (1)
           2-b : Vitesses
           2-c : Masses (2)
           2-d : Espace - temps
           2-e : Energie
           2-f : Géométrie (2)
           2-g : Géodésiques
           2-h : Conclusion (1)

3. Mécanique Quantique
Les problèmes posés par les émissions lumineuses de corps chauffés ont mis en évidence l'intérêt de la description statistique de la matière : tout est parti de là et même si la Mécanique Quantique fait appel à des notions mathématiques complexes les phénomènes de base restent accessibles.
           3-a : Incertitudes
           3-b : Mécanique statistique
           3-c : Emission et absorption de photons
           3-d : Probabilités quantiques
           3-e : Conclusion (2)

Fiche Technique
           Utiliser Chamois
           Utiliser Excel

Bibliographie

Index