Le problème de la brachistochrone fut à l’origine du calcul des variations. Jean Bernoulli « résolut » le problème en considérant un trajet lumineux à travers des lames transparentes de densités différentes comme nous l’avons vu. Voici la solution due à Euler.
Pour aller de A à B dans le temps T sur la courbe C(y=f(x)), on calcule
où ds est la longueur d’un petit arc de la courbe C. L’énergie cinétique à un moment donné est
et doit être égale à l’énergie potentielle : mgh. Donc
.
Dans le cas de C, h=y et 
, d’où
.
Il faut donc intégrer la fonction
.
Si on dérive par rapport à y, on obtient
,
par rapport à y ’ :
;
grâce alors à l’identité de Beltrami : (voir par exemple http://mathworld.wolfram.com/Euler-LagrangeDifferentialEquation.html)
,
nous pouvons écrire
d’où après simplification :
.
Elevons les deux côtés au carré :
.
En posant « au hasard »
(enfin, pas vraiment au hasard…) l’équation devient
;
par ailleurs
d’où en intégrant
.
Finalement la solution est bien notre arche de cycloïde
.
On peut prolonger la question en ajoutant la résistance du milieu
(l’air par exemple) et donc un terme en 
on complique alors le
problème qui donne comme solutions :
voir : http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html.