* des éléments d’Histoire des Sciences ont fait leur apparition dans les ouvrages didactiques retraçant plus ou moins brièvement l’histoire de telle ou telle découverte, de telle ou telle méthode ou formule,

* l’utilisation de l’ordinateur, non plus comme assistant d’acquisition de données ou de stockage, mais comme outil d’aide à la réflexion et à l’expérimentation numérique,

* une forte demande des élèves, des étudiants et des enseignants, voire des chercheurs pour une présentation moins théorique des mathématiques et de leurs applications. Dans la mesure où il ne peut y avoir de mise en forme scientifique autrement qu’en passant par le langage mathématique cette demande revêt un caractère prégnant.

De nombreux ouvrages de vulgarisation traitant diverses questions essentiellement dans les domaines des mathématiques et de la physique ont d’ailleurs vu le jour ces dernières années, mettant à la portée du plus grand nombre un certain nombre de connaissances auparavant réservées aux spécialistes.

Cet ouvrage a été écrit en ayant ces divers aspects en points de mire : un noyau historique pour resituer dans le temps la progression des connaissances mathématiques, des utilisations des mathématiques dans un certain nombre de domaines et la mise à la disposition du lecteur de quelques outils informatiques suffisamment simples.

L’ouvrage est structuré autour des grandes disciplines mathématiques : arithmétique, algèbre, analyse, géométrie, probabilités… ; dans chaque chapitre sont traités un certain nombre d’exemples qui présentent un intérêt soit historique, soit méthodologique, soit culturel. Une présentation historique succinte des notions abordées est également faite au début de chaque chapitre. Pour l’informatique la plupart des exemples traités sont accompagnés de fichiers créés avec quelques logiciels courants ou simples d’utilisation : pour le calcul il s’agit d’Excel, disponible sur la plupart des micro-ordinateurs, pour la géométrie, ainsi que pour quelques thèmes d’analyse il s’agit de Chamois, « shareware » similaire à Cabri, d’accès très simple. Ces fichiers sont téléchargeables sur internet à l’adresse suivante : (voir la fiche technique). Quelques situations ont nécessité l’emploi de Maple ainsi que de GeospaceW.

Les chapitres de base (Arithmétique, Algèbre, Analyse, Géométrie) sont structurés en suivant à peu près un ordre historique, les chapitres plus spécifiquement applicatifs (Equations différentielles, Probabilités, Fractales) sont moins linéaires , les thèmes abordés n’étant pas forcément reliés entre eux. Deux chapitres de culture générale commencent et terminent l’ouvrage : le premier aborde quelques notions de philosophie des mathématiques et des sciences tout en donnant un cadre historique général allant de l’antiquité jusqu’à nos jours, le dernier donne quelques aperçus sur la Relativité et la Mécanique Quantique dont une connaissance minimale semble indispensable à l’honnète homme.

Un fil conducteur qui s’est fait jour assez involontairement est la question des ondes : on les retrouve depuis le traitement de la musique chez les Pythagoriciens jusqu’au plus profond de la Mécanique Quantique, aussi un chapitre sur la Transformée de Fourier était indispensable. De même les Probabilités et les Statistiques sont un outil fondamental pour le scientifique moderne et le chapitre qui leur est consacré est assez long… Les deux chapitres Equations différentielles et Fractales et Chaos sont en partie liés puisque issus des mêmes problématiques, ils laissent la porte ouverte à de nombreux thèmes de réflexion.

Le champ couvert par le livre est extrèmement large et les applications proposées se retrou-vent dans pratiquement toutes les disciplines scientifiques, ce qui explique la présentation assez serrée. La perte en lisibilité est largement compensée par la quantité, d’autant plus que pensant au lecteur dont les connaissances étaient peut-être un peu insuffisantes au vu des questions abordées de nombreux rappels de cours sont effectués au long des chapitres. Certaines choses sembleront peut-être totalement évidentes à certains, mais souhaitant m’adresser au public le plus large possible, pour qui les mathématiques de base ne sont souvent qu’un souvenir lointain, il m’a semblé utile de rappeler certains fondamentaux.

Je souhaite m’excuser également auprès du lecteur pour la médiocre qualité de certaines figures : il est difficile de réduire des graphiques Excel en dessous d’un certain seuil, aussi je ne peux que vous conseiller de faire comme au 17^e siècle, à savoir imprimer les fichiers correspondants et les insérer dans votre livre…

Le niveau des questions abordées varie entre celui de la classe de Troisième et celui de la Maîtrise de mathématiques… Plus sérieusement j’ai essayé de ne pas utiliser de connaissances non accessibles à un élève de Terminale scientifique ou de première année d’études supérieures, et si c’est le cas les outils nécessaires sont expliqués de la manière la plus simple possible (enfin j’espère…). Particulièrement aucune notion avancée d’algèbre n’est utilisée, seule la notion de groupe est abordée sous son aspect historique, ainsi que quelques applications très simples des matrices. On s’aperçoit d’ailleurs que certaines notions (comme par exemple la continuité uniforme ou la transformée de Fourier) s’expliquent finalement de manière aisée avec quelques exemples bien choisis…

A chaque fois que cela a été possible j’ai essayé de mettre en avant des problèmes non résolus qui se posent actuellement aux mathématiciens : certaines questions sont anecdotiques, d’au-tres plus profondes et laissent entrevoir des explications à certains phénomènes mystérieux. Quelques questions pourraient d’ailleurs inciter certains à se lancer dans un début d’explora-tion numérique et faire l’objet de travaux en TPE ou en TIPE… La bibliographie, constituée essentiellement d’ouvrages de vulgarisation, donne de nombreuses pistes de recherche supplé-mentaires.

Le livre est certainement difficile à lire d’une manière linéaire : il vaut probablement mieux prendre un thème après l’autre en utilisant les ressources fournies : refaire les démonstrations ou les calculs, explorer les possibilités offertes par les fichiers d’accompagnement, bref être actif plutôt que passif…

J’espère fournir ainsi à tous ceux concernés par les mathématiques un outil de base qui leur servira pendant de nombreuses années.

Malgré tout le soin apporté à la rédaction et aux diverses relectures il peut subsister quelques erreurs… que le lecteur veuille bien m’en excuser et si possible me les signaler.

Je tiens à remercier particulièrement C. Baud, Y. Olivier, E. Barrandon, A. Yahiatène, A. Trempé, pour leur aide et leur soutien moral tout au long de la rédaction de cet ouvrage ainsi que tous les mathématiciens, physiciens, biologistes, économistes,… dont les travaux ont fait progresser la connaissance humaine au cours des deux derniers millénaires. Enfin une pensée pour tous les élèves et étudiants dont les questions, souvent pertinentes, m’ont amené à la rédaction de cet ouvrage. Les images de fin de chapitre sont pour la plupart dues à J.F. Colonna de l’Ecole Polytechnique.

Montpellier, août 2002.