Le théorème d'approximation de Weierstrass

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Prenons donc les-dits polynômes

avec x dans [0, 1] (on peut toujours se ramener à l’intervalle [a, b] moyennant une transformation affine :

et réciproquement). Il nous faut donc montrer que ces polynômes convergent simplement vers la fonction f (continue), soit que pour tout , il existe N tel que pour tout n supérieur à N,

.

Prenons tout d’abord f=1 :

(développement du binôme) et tout va bien.

Un peu plus loin avec f(x)=x :

Plus complexe avec _:

bof…

Dérivons  par rapport à x puis multiplions par x/n : on a

_,

redérivons cette relation et remultiplions par x/n, on a alors :

Remplaçons y par 1–x :

_;

par conséquent

(la fonction x(1–x) est inférieure à 1/4 sur [0, 1]).

Passons au cas général : f est uniformément continue, donc bornée ; il existe donc M tel que _, par conséquent

_;

 par ailleurs pour tout , il existe  tel que si

alors

 Prenons un  ; pour notre polynôme B_n, il existe des points k/n pour lesquels les valeurs de B_n sont à une distance inférieure à  de f et d’autres pour lesquels cette distance est supérieure, nous pouvons donc écrire

La première somme se majore facilement par  ; pour la deuxième, nous avons

d’où en développant le terme carré :

En choisissant

,

on obtient

_.

Cette démonstration est constructive puisqu’on sait à peu près quel polynôme de Bernstein on devra utiliser pour approcher f.