Suites de Farey

Une fraction a/b est dite propre si elle est comprise entre 0 et 1 et si a et b n’ont pas de facteurs communs. Par exemple 1/3, 3/5 en sont,…2/4, 12/16 n’en sont pas.

On appelle suite de Farey d’ordre n la suite F_n de toutes les fractions propres dont le dénominateur ne dépasse pas n, rangées dans l’ordre croissant. Par exemple F₅ est :

.

Ces suites datent du début du 19^ième siècle et Cauchy en a attribué la paternité à Farey. Une propriété assez remarquable des « suites de Farey » est que lorsque vous prenez trois fractions successives :

alors

.

Par exemple dans F₇ :

les termes numéros 8, 9, 10 font :

.

Un autre résultat est que si

sont deux termes successsifs, bc – ad=1.

Si on appelle A(n) le nombre de termes de la suite de Farey d’ordre n et que l’on divise l’intervalle [0 , 1] en A(n) segments égaux, les termes qui divisent l’intervalle sont de la forme

(qui ne font pas forcément partie de la suite), k variant de 1 à A(n). Dans chaque intervalle

on va donc trouver des termes de la suite, considérons alors le k^ième terme u_k de la suite, d_k la différence entre

et u_k et D(n) la somme de tous les nombres d_k alors si r est n’importe quel réel supérieur à ½, il existe une constante C telle que D(n) soit toujours inférieur à Cn^r. Cette propriété des suites de Farey n’est pas démontrée pour la raison « simple » qu’elle est équivalente à l’hypothèse de Riemann…