L段ntégrale de Lebesgue

La définition la plus générale de l段ntégrale est celle due à Henri Lebesgue en 1902 : soit E un ensemble quelconque, on appelle mesure extérieure de E le nombre

U est n段mporte quel ouvert de E, la borne inférieure des mesures des ensembles U et mesure intérieure de E le nombre

F est n段mporte quel fermé de E. On dira alors que E est mesurable si et seulement si

.

Une mesure est une application d置n ensemble E vers  qui possède quelques propriétés de base comme l誕dditivité :

si A et B sont deux sous-ensembles disjoints.

La définition géométrique de l段ntégrale d置ne fonction positive f, définie sur [ab] est la mesure en dimension 2 de l弾nsemble des couples (xy) où

 et .

Lebesgue en déduit une définition analytique de l段ntégrale en considérant une partition de l段ntervalle [mM] où

 :

qui définit alors une suite d弾nsembles

 ;

l段ntégrale de Lebesgue est alors la limite commune des sommes

 et .

La différence fondamentale avec l段ntégrale de Riemann est dans l置tilisation d置ne partition des images y au lieu d置ne partition des x.

Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue et dans ce cas les intégrales sont les mêmes ; depuis 1870 on avait exhibé des fonctions à dérivée bornée non intégrables au sens de Riemann, le théorème fondamental de l誕nalyse (dérivée et intégrale sont des opérations réciproques) ne marchait donc plus. L段ntégrale de Lebesgue a alors permis de réintégrer ces fonctions dans la théorie générale.

Deux aspects sont très importants dans l段ntégrale de Lebesque : si un ensemble est de mesure nulle, toute intégrale est nulle sur cet ensemble : l弾xemple de la fonction de Dirichlet :

qui nest pas Riemann-intégrable devient alors Lebesgue-intégrable car  est de mesure nulle, l段ntégrale valant alors 0. On rajoutera donc très souvent pour une fonction le terme « presque partout » pour parler de ses propriétés : par exemple telle fonction a une dérivée bornée « presque partout » dans le sens où l弾nsemble sur lequel cette dérivée n弾st pas bornée a une mesure nulle.

Deuxième point : l段ntroduction de la convergence dominée qui généralise la convergence uniforme : sous des conditions très larges, on a :

.

Finalement on retrouve théorisée l段ntégrale de Leibniz et les opérations sans justifications des scientifiques du 18e obtiennent un statut acceptable.