L’intégrale de Lebesgue
La définition la plus générale de l’intégrale est celle due à Henri Lebesgue en 1902 : soit E un ensemble quelconque, on appelle mesure extérieure de E le nombre où U est n’importe quel ouvert de E, la borne inférieure des mesures des ensembles U et mesure intérieure de E le nombre où F est n’importe quel fermé de E. On dira alors que E est mesurable si et seulement si
Une mesure est une application
d’un ensemble E vers si A et B sont deux sous-ensembles disjoints. La définition géométrique de l’intégrale d’une fonction positive f, définie sur [a, b] est la mesure en dimension 2 de l’ensemble des couples (x, y) où
Lebesgue en déduit une définition analytique de l’intégrale en considérant une partition de l’intervalle [m, M] où
qui définit alors une suite d’ensembles
l’intégrale de Lebesgue est alors la limite commune des sommes
La différence fondamentale avec l’intégrale de Riemann est dans l’utilisation d’une partition des images y au lieu d’une partition des x. Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue et dans ce cas les intégrales sont les mêmes ; depuis 1870 on avait exhibé des fonctions à dérivée bornée non intégrables au sens de Riemann, le théorème fondamental de l’analyse (dérivée et intégrale sont des opérations réciproques) ne marchait donc plus. L’intégrale de Lebesgue a alors permis de réintégrer ces fonctions dans la théorie générale. Deux aspects sont très importants dans l’intégrale de Lebesque : si un ensemble est de mesure nulle, toute intégrale est nulle sur cet ensemble : l’exemple de la fonction de Dirichlet : qui nest pas
Riemann-intégrable devient alors Lebesgue-intégrable car Deuxième point : l’introduction de la convergence dominée qui généralise la convergence uniforme : sous des conditions très larges, on a :
Finalement on retrouve théorisée l’intégrale de Leibniz et les opérations sans justifications des scientifiques du 18e obtiennent un statut acceptable.
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