L’intégrale de Lebesgue

La définition la plus générale de l’intégrale est celle due à Henri Lebesgue en 1902 : soit E un ensemble quelconque, on appelle mesure extérieure de E le nombre

où U est n’importe quel ouvert de E, la borne inférieure des mesures des ensembles U et mesure intérieure de E le nombre

où F est n’importe quel fermé de E. On dira alors que E est mesurable si et seulement si

.

Une mesure est une application d’un ensemble E vers qui possède quelques propriétés de base comme l’additivité :

si A et B sont deux sous-ensembles disjoints.

La définition géométrique de l’intégrale d’une fonction positive f, définie sur [a, b] est la mesure en dimension 2 de l’ensemble des couples (x, y) où

et .

Lebesgue en déduit une définition analytique de l’intégrale en considérant une partition de l’intervalle [m, M] où

 :

qui définit alors une suite d’ensembles

 ;

l’intégrale de Lebesgue est alors la limite commune des sommes

et .

La différence fondamentale avec l’intégrale de Riemann est dans l’utilisation d’une partition des images y au lieu d’une partition des x.

Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue et dans ce cas les intégrales sont les mêmes ; depuis 1870 on avait exhibé des fonctions à dérivée bornée non intégrables au sens de Riemann, le théorème fondamental de l’analyse (dérivée et intégrale sont des opérations réciproques) ne marchait donc plus. L’intégrale de Lebesgue a alors permis de réintégrer ces fonctions dans la théorie générale.

Deux aspects sont très importants dans l’intégrale de Lebesque : si un ensemble est de mesure nulle, toute intégrale est nulle sur cet ensemble : l’exemple de la fonction de Dirichlet :

qui nest pas Riemann-intégrable devient alors Lebesgue-intégrable car est de mesure nulle, l’intégrale valant alors 0. On rajoutera donc très souvent pour une fonction le terme « presque partout » pour parler de ses propriétés : par exemple telle fonction a une dérivée bornée « presque partout » dans le sens où l’ensemble sur lequel cette dérivée n’est pas bornée a une mesure nulle.

Deuxième point : l’introduction de la convergence dominée qui généralise la convergence uniforme : sous des conditions très larges, on a :

.

Finalement on retrouve théorisée l’intégrale de Leibniz et les opérations sans justifications des scientifiques du 18^e obtiennent un statut acceptable.