Soit f(t) une fonction deux fois dérivable, alors si |
Plusieurs cas se présentent : |
*Si
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*Si pour puisque f est croissante. En utilisant une intégration par parties, on peut écrire : |
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d’où on peut conclure : (1)
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la première majoration étant obtenue grâce au cas précédent ; |
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si on pose g(t)=f(– t), on a g’(t)=– f’(– t) donc positive et g’’(t)=f’’(– t). D’autre part comme f’’ ne change pas de signe, f’ ne peut s’annuler qu’en seul un point c de l’intervalle [a , b], donc sur [c , b] on retrouve f’>0 et le cas précédent. Sur [a , c], on a |
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Dans l’intervalle [–c , –a],
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D’où en ajoutant (1) et (2) |
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On voit qu’avec des propriétés et des méthodes assez simples on peut montrer des résultats assez puissants… Merci à Jean Dieudonné. |