Inégalités de Heisenberg

1. Orthogonalité et fonctions

Appelons produit scalaire de deux fonctions f et g de [a ; b] dans vers le nombre

 ;

il est immédiat que la définition du produit scalaire en tant que forme bilinéaire, symétrique et positive est vérifiée :

…

La norme d’une fonction f est alors

qui a bien les propriétés d’une norme, particulièrement

.

On obtient alors l’inégalité de Schwarz :

puisque cette dernière ne dépend que des propriétés du produit scalaire en général.

Des fonctions telles que

seront bien sûr orthogonales et si

ces fonctions seront normées.

Une famille de fonctions indépendantes linéairement, toutes orthogonales et normées formeront alors une base orthonormée et on peut chercher la décomposition d’une fonction dans cette base :

.

Les polynômes de Legendre ou ceux de Tchebychev forment ainsi une base orthonormée.

Prenons l’exemple de la base orthonormée sur [0 ; 1] des fonctions

 :

qui vaut 1 si n=m (évident) et 0 sinon :

posons k=n – m,

.

Il reste à montrer que ces fonctions sont linéairement indépendantes, chose que nous avons obtenue en étudiant les séries de Fourier.

Faisons le produit scalaire d’une fonction f et d’un élément de

 :

soit le coefficient c_n de la série de Fourier de f qui correspond en fait à la projection orthogonale de f sur le vecteur de base .

Prenons une fonction f de norme U  sur :

Lemme de Lebesgue : un résultat qui est intéressant est le suivant :

 ;

intuitivement le fait de multiplier par revient à envoyer f sur le cercle trigonométrique, aussi lorsque t tend vers l’infini, on fait une infinité de fois le tour du cercle et la somme de toutes les valeurs s’annule en moyenne.

2. Inégalités de Heisenberg

La démonstration de ces inégalités que nous avons simplement approchées dans le chapitre 13 utilise la TF ainsi que quelques notions de probabilités. Considérons une fonction f telle que

,

donc telle que soit une densité de probabilité ; la TF de f, est également une distribution de probabilité : considérons deux variables aléatoires x et y de distributions respectives f et , de moyennes x_m et y_m, alors les variances respectives de x et y sont

et  ;

posons et , on a alors

 ;

posons

qui est également normalisée :

et ,

soit

.

Calculons la TF de f’  en faisant une intégration par parties :

 ;

le crochet est nul si f est bornée (ce qui est le cas ici) : la somme est nulle car on fait une infinité de fois le tour du cercle de centre O et de rayon M. Conséquence de ceci :

d’où :

.

On a dit au §1 que la TF est une isométrie, soit

.

Grâce à l’inégalité de Schwarz nous pouvons écrire

(1)

en utilisant les «vecteurs » Xg(X) et g’(X).

La fonction f initiale n’est pas forcément réelle, et même en Mécanique Quantique elle est souvent complexe, de même pour g ; or pour deux complexes a et b on a l’inégalité

qui donne appliquée à nos deux vecteurs :

par ailleurs si on a la curiosité de dériver  :

d’où enfin :

.

On peut donc encore minorer dans (1) par

 ;

on a encore intégré par parties, le crochet est nul (g est bornée et sur X vaut 0 en moyenne), quand à l’intégrale restante elle vaut 1.

Réécrivons donc (1) avec les variances :

(inégalité de Heisenberg).

Il y aura égalité lorsque la TF de f est égale à f, c’est à dire lorsque la distribution de probabilité est une loi Normale !