Axiomatique des réels

 On peut résumer les axiomes de création des entiers selon Peano de la manière suivante :

1- Zéro est un nombre ;
2- le successeur de tout nombre est un nombre ;
3- si deux nombres ont même successeur, ils sont identiques ;
4- zéro n'est le successeur d'aucun nombre ;
5- si une propriété appartient à zéro et si, lorsqu'elle appartient à un nombre quelconque, elle appartient aussi à son successeur, alors elle appartient à tous les nombres.

Pour les réels on complique un peu :

Il y a trois relations primitives et dix-sept axiomes de création des réels, soit moins qu’en géométrie euclidienne et ceci pour la raison qu’il n’y a qu’un type d’objets à considérer, les nombres réels.

            la relation entre deux réels (relation d’ordre)

la relation entre trois réels : l’addition

la relation entre trois réels : la multiplication

Ordre	Relations ordre-addition
A1 : Il y a deux nombres réels distincts. A2 : Si x et y sont deux réels alors . A3 : Si on a à la fois alors x = y. A4 : Si alors	A7 : Il existe un réel a tel que a+x=x pour tout réel x. A8 : Pour tout réel x, il existe un réel x’ tel que x+x’=a. A9 : Si alors pour tout z réel.
Associativité, commutativité	Relations ordre-multiplication
A5 : (x+y)+z=x+(y+z). A6 : y+x=x+y.	A10 : x(yz)=(xy)z. A11 : xy=yx. A12 : il existe un réel b tel que bx=x pour tout x. A13 : pour tout x réel différent de a, il existe un réel x’’ tel que xx’’=b. A14 : Si et alors A15 : x(y+z)=xy+xz.
Axiomes de fondement de l’analyse
On définit par récurrence sur l’entier n le nombre réel n.x par : 1.x=x et (n+1).x=n.x+x. A16 : Si et , pour tout nombre réel y il existe un entier n tel que (Axiome d’Archimède). A17 : Si et sont deux suites infinies de nombres réels et que pour tout , alors il existe un réel x tel que pour tout k (Axiome des intervalles emboîtés : Cantor).

On peut remarquer que les axiomes A5 à A15 définissent les propriétés « arithmétiques » sur alors qu’on aurait pu penser que ces propriétés se déduisaient d’autres plus simples. L’axiome A17 peut être remplacé par celui de Dedekind sur les coupures, ou de manière plus rentable par celui de Weierstrass :

Si un segment [AB] contient une suite illimitée de points successifs il existe un point L tel que dans tout voisinage de L se trouve au moins un point de la suite.

Par contre il est impossible de définir l’analyse habituelle sans l’axiome d’Archimède.